Теорема типа Левинсона - Щёберга. Квазианалитические классы функций. Применения

• Автор: Кинзябулатов, Ильнур Галиянович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Оглавление Введение

1 Обзор результатов и постановка задач

2 Основные результаты диссертации

Глава I. Компактность и квазианалитичность

§1 Теорема Альфорса об искажении и другие геометрические факты

§2 Обобщение теоремы Левинсона-Щёберга

§3 Классы Карлемана на дугах. Критерий квазианалитичности

Глава II. Условие Левинсона и неполные системы экспонент на дугах

§1 Вспомогательные утверждения

§2 Существование биортогональной системы. Теоремы

продолжения
§3 Теорема единственности для рядов Дирихле
Глава III. Усиленно не полные и усиленно свободные системы экспонент на системе ДУГ
§1 Краткий обзор результатов
§2 Предварительные сведения
§3 Основной результат
Литература

Введение

1. Обзор результатов и постановка задач
Диссертация посвящена изучению вопросов, связанных с квазианалитичностью классов Карлемана на дугах и двойственной задачей о компактности семейства Fm — {/} аналитических в некоторой области D функций /, удовлетворяющих вне некоторой дуги 7 из D оценке вида
f(z) где dist{z, 7) = inf z —1, M = M(p) — убывающая на

(О, оо) функция, не ограниченная в окрестности нуля. Предполагается, что функция М удовлетворяет некоторому би-логарифмическому условию, которое называется условием Левинсона. Данное условие естественно возникает во многих вопросах комплексного анализа, спектральной теории и теории операторов, в теории целых и субгармонических функций, рядов экспонент, в теории интерполяции (см., н-р, в [1]).
Пусть D — область в С, H(D) — пространство функций /, аналитических в D, наделенное топологией компактной сходимости, то есть топологией, определяемой системой норм
ll/Ik = siip I/Ml,

где К С С Б, то есть К — компактное подмножество области Б, К С Б. Эта топология может быть задана и при помощи счетного семейства норм
Следовательно пространство Н(Б) метризуемо. Компактные подмножества в Н{Б) называются компактными семействами аналитических функций. Другими словами, семейство N = {/} функций / € Н(Б) называется компактным в Б) если из каждого бесконечного подмножества Т множества N можно выделить последовательность, равномерно сходящуюся на каждом компактном множестве К С С Б. Предельная функция / по теореме Вейерштрасса будет аналитичной в В), но, вообще говоря, не принадлежащей семейству N.
Имеет место следующий критерий компактности, обычно называемый принципом компактности (теорема Монтеля) [2], [3]: семейство ДГ = / функций / е Н(Б) компактно в Б тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено внутри Б, то есть для любого компактного множества К, К СС Б, существует число С = С (К), такое, что ||/|| к < С для всех / е N.
В 1938 году Н. Левинсон [4] доказал теорему, которая явилась „далеко идущим обобщением принципа максимума модуля для аналитических функций“[5].
11/11« — шах |/(г)|
геКп

Следовательно, принимая во внимание оценку 2) из (1.3), для всех г Е имеем
т < срсзд. (1.4)
Далее, из (1.1), (1.2) следует, что
1/И1 < мф(а- 5)) (1.5)
для всех г из Щ П. Таким образом, для любой функции
/ Е Рм из (1.4), (1.5) получаем оценку
эир /{Р) < С(5), где С (6) = тах(С1”1СГ2(), М{—в(а—5))). геЩ
Видим, что если функция Д(г) с указанными свойствами существует, то семейство Дм является компактным.
Перейдем к построению функции Р{г). Для этого рассмотрим функцию

(р{у)=р 1п 1п М(-у) (2 < у < оо).
Ясно, что <р(у) — монотонно убывающая, непрерывная функция на полуинтервале (0,61], причем

J{y)dy < оо, о
где Ъ = у (0 < к < 1). Далее, функция