Операторы суперпозиции в некоторых пространствах гармонического анализа

• Автор: Лебедев, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 173 с.

Оглавление
Введение
Замечания об обозначениях
Глава 1. Оценки норм экспонент в пространствах Ар
§ 1. Пространство Л(Т). Гипотеза Кахана. Усиление
теоремы Берлинга-Хелсона
§ 2. Пространства Ар. Оценки снизу норм ||е*л С1 -гладкой фазы (р
§ 3. Медленный рост
§ 4. Операторы суперпозиции в пространствах Ар
§ 5. Многомерный случай
Г л а в а 2. Преобразование Фурье характеристических
функций областей с С1 -гладкой границей
§ 1. Общий случай. Области с С1 -гладкой границей
§ 2. Области с С1,00 -гладкой границей
§ 3. Области в К2
Г лава 3. Устойчивость непрерывных функций в
некоторых пространствах, связанных с рядами Фурье
§ 1. Необходимое условие устойчивости
§ 2. Устойчивое распределение коэффициентов Фурье
§ 3. Устойчивость в пространствах ПР(Т), 1Г(Т) и некоторых
других пространствах
§ 4. Устойчивость в пространствах функций на тореТ*, (1>2
Глава 4. Операторы суперпозиции в пространствах и и РУУ
§ 1. О равномерной сходимости рядов Фурье
§ 2. О функциях из Ь2(Е”) с ограниченным спектром
Добавление. Функции аналитические в круге.
Внутренние функции и 1Р -мультипликаторы
§ 1. Сингулярные внутренние функции
§ 2. Произведения Бляшке
Список литературы

Введение
В диссертации исследуются свойства операторов суперпозиции (замены переменной)
/-> 1°Ч>
в некоторых пространствах функций, естественно возникающих в гармоническом анализе. (Как обычно (/ о Для интегрируемых функций / на окружности Т рассмотрим их разложения в ряд Фурье

С рядами Фурье связаны многие часто встречающиеся в анализе пространства “хороших” функций. Примерами служат: пространство непрерывных функций с условием
Е1/>)1< оо

(алгебра Винера), его обобщение — пространство функций, преобразование Фурье которых / суммируемо со степенью р, пространства Соболева, пространства функций с заданной скоростью убывания коэффициентов Фурье или с заданным их распределением и другие.
Для различных пространств X такого типа (по большей части в работе рассматриваются банаховы пространства) естественно рассматривать следующие три вопроса.
1. Можно ли произвольную непрерывную функцию на Т привести в X при помощи гомеоморфной замены переменной, т.е. верно ли, что для любой непрерывной функции / найдется гомеоморфизм к окружности Т на себя такой, что / о к € X?
2. Какие отображения окружности у? в себя (важным частным случаем являются гомеоморфизмы) допустимы в X (или действуют в X), т.е. обладают тем свойством, что для любой функции / е X мы имеем / О (р £ X?
3. Какие функции / устойчивы в X, т.е. обладают тем свойством, что для любого гомеоморфизма к окружности Т мы имеем / о к € X?
Второй вопрос допускает следующую модификацию. Имея два пространства X и ¥ функций на Т мы можем спросить, какие отображения <р окружности действуют из X в ¥, т.е. обладают тем свойством, что для любой функции / Е X мы имеем / о <р £ ¥. Резонно также рассматривать многомерный случай т.е. пространства функций на торе Тп, а также, не ограничиваясь периодическим случаем, рассматривать классы функций на

прямой Е или на К”, естественным образом характеризуемые поведением преобразования Фурье.
Начало исследований в направлении, связанном с приводимостью, было положено Г. Бором, который в 1935 г., улучшив более давний результат Ж. Пала, показал, что для любой вещественной непрерывной функции / на Т существует гомеоморфизм Л, : Т —> Т такой, что /0/1 имеет равномерно сходящийся ряд Фурье. По-видимому следует считать, что этот результат Бора в целом положил начало изучению операторов суперпозиции в теории рядов Фурье. В дальнейшем задача о приводимости для различных пространств рассматривалась А. М. Олевским, Ж.-П. Каханом, И. Кацнельсо-ном, А. А. Саакяном, Б. С. Кашиным, Д. Ватерманом. Обзор результатов по этой тематике содержится в работе Олевского [58] (см. также его работу [59]). Позже некоторые поставленные там проблемы рассматривались автором настоящей работы в [34] и [35].
Значительно менее изучено направление, связанное с допустимыми заменами переменной. Первым значительным результатом явилась теорема
А. Берлинга и Г. Хелсона (при дополнительном предположении гладкости одновременно полученная 3. Л. Лейбензоном). Согласно этой теореме в пространстве абсолютно сходящихся рядов Фурье нет нетривиальных допустимых замен. В дальнейшем для разных пространств функций вопрос об операторах суперпозиции, действующих в этих пространствах, рассматривался Ж.-П. Каханом, И. Кацнельсоном, Н. Лебланом, Л. Алпаром, Р. Кауфманом, И. Домаром, Л. Хермандером. Обзор некоторых из этих результатов имеется в работе Кахана [28]. Ряд результатов о допустимых заменах в пространствах функций с последовательностью коэффициентов Фурье из 1Р, и в пространстве 1Р -мультипликаторов Фурье был получен совместно автором и А. М. Олевским [46]—[49].
Еще менее изученным является направление, связанное с устойчивостью. Первые результаты получены К. Гоффманом и Д. Ватерманом для пространства функций на окружности Т, имеющих сходящийся всюду ряд Фурье, а также А. Бернстайном и Д. Ватерманом для пространства функций, имеющих равномерно сходящийся ряд Фурье. Вопрос об устойчивости в пространствах функций на Т с заданной скоростью убывания преобразования Фурье рассматривался Ватерманом. Этот вопрос рассматривал также Г. Т. Ониани.
В диссертации, в основном, исследуется ряд вопросов, связанных с допустимыми заменами и с устойчивостью.
Отметим, что многие свойства операторов суперпозиции / —> / о (р в различных пространствах проявляются в том, как при больших частотах

Фиксируя N и применяя теорему Дирихле к числам
а' = 2Ч ЛГ

и О = IV, находим целые числа СДу и І = 0,1
1 < <3лг < ЛГ (9)

1 /Ртг-?
І = 0,1

Определим функцию <рлг на Тполагая
2тгЛ 2
IV У Ом ’ 3 ь
(10)
Мы видим, что
( 2тг? ~ZV~
То есть
— ЛГ

і — о, 1

Лемма 1. При всех п — 0,1,2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / — произвольная функция, принадлежащая Л(Т). Рассматривая / как функцию на Тдг, имеем
Ц/Цщтдг) < ||/|Ц(т)-
Этот факт хорошо известен 2. Пользуясь этим неравенством, видим, что (см. (8))
< 0(п), п = 0,1,2
Заметим далее, что оценка (11) дает (при п > 0)

ет<р _ еШ¥’лг||£,оо(Тдг) < п|| - лНиОГ*) < п
N(21*’
2См., например, [58, § 2]. Следует лишь заметить, что если /(£) = 2кеСкв > где 1С*1
||/||л(Т) < сю? то> вычисляя преобразование Фурье / функции / на Тдг, получаем /(к)
/т„ ( ЕтегСгпегт1е~м(1мЦ) = Хтег /т„ е4т(е_агт„0) = Еш=ц„,оа лг) <=”> к е