Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов

• Автор: Афонина, Светлана Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Основные обозначения
Введение
1 Необходимые сведения
1.1 Сюръективные операторы. Основные свойства
1.2 Теоремы о неподвижных точках
1.3 Меры некомпактности и уплотняющие отображения
2 Уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръ-
ективных операторов
2.1 Мера некомпактности индуцированная линейным непрерывным сюръективным оператором
2.2 Уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръ-
ективиых операторов
2.3 О разрешимости уравнений с линейными непрерывными
сюръективными операторами
2.4 О локальных решениях дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной
2.5 О глобальных решениях дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной
3 Уплотняющие возмущения линейных замкнутых сюръ-
ективных операторов
3.1 Уплотняющие возмущения замкнутых сюръективных операторов
3.2 Уравнения с {А, ^>)-уплотняюгцими отображениями

4 О некоторых приложениях в теории дифференциальных уравнений
4.1 О существовании локальных решений для одного класса уравнений нейтрального типа
4.2 О глобальных решениях уравнений нейтрального типа
4.3 Абстрактная модель уравнений нейтрального типа
4.4 Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений
Список литературы

Основные обозначения
Е - банахово пространство.
Р(Е) - множество всех непустых подмножеств в Е.
Су(Е) - множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств в Е.
Прописными буквами х, у, г, в, £ в работе обычно обозначаются произвольные точки банахова пространства, а заглавными буквами О, К, Ь, М, X, У, 5, /V, Р, Т - подмножества банахова пространства. со(П) - выпуклая оболочка множества П.
П - замыкание множества П.
со(Г2) - замыкание выпуклой оболочки множества О,. ф - частично упорядоченное множество.
С[а,ь] - пространство непрерывных вектор-функций, определенных на отрезке [а, Ъ] со значениями в банаховом пространстве Е.
Однозначные отображения в диссертации всегда обозначаются прописными буквами /, ф, д, д, р, Заглавными буквами А, В, К, V в работе обычно обозначаются линейные операторы.
Г(А) = {(х,у)х Е Р(А), у — А(х)} С Ег х Е2 - график линейного оператора А : Е(А) С Е —> Е
О(А) - область определения линейного оператора А.
£>(/) - область определения отображения /.
11ж11с = 1И11 Н- с| |А(ж) | 2 ~ норма графика в множестве Р(А).
Кег(А) = {х € Е(А) | А(х) = 0} - ядро оператора А.
х(П) = 1гй{е | е > 0, П имеет конечную г —сеть } - мера некомпактности
Хаусдорфа.

Теорема 1.3. Меры некомпахтности Куратовского и Хаусдорфа, связаны неравенствами
Х(П) < а(П) < 2х(П).
На множестве всех бесконечномерных пространств эти неравенства неулучшаемы.
Теорема 1.4. Пересечение центрированной системы замкнутых подмножеств банахова пространства непусто, если в этой системе имеют,ся, множества сколь угодно малой меры некомпактности Куратовского (или, что в силу теоремы 1.3 то же самое, меры некомпактности Хаусдорфа).
Доказательство теорем 1.3 - 1.4 содержатся, например, в [4].
Пусть в банаховых пространствах Е и Е2 задана мера некомпактности ф со значениями в некотором частично упорядоченном множестве
Определение 1.4. Непрерывный оператор / : £*(/) С Е —> Е называется ф-уплотняющим, если из неравенства ф(ф(П)) > ф(П) (П С £>(/)) выт,екает относительная компактность множества П. Оператор / будем называть ф-уплотняющим в собственном смысле, если для любого множества П С -0(/), замыкание которого некомпактно, выполняется неравенство ф(ф(0)) < ф(01).
В частично упорядоченном множестве (ф), <) неравенство а < Ь означает, что а < Ъ и а Д Ь. Если множество С) линейно упорядочено, то оба понятия, очевидно, совпадают.
Теорема 1.5. (Б.Н. Садовский) Пусть ф-уплотняющий оператор / переводит непустое выпуклое замкнутое подмножество М банахова пространства Е в себя. Тогда / им,ее,т в М по крайней мере одну