Некоторые экстремальные свойства аналитических в круге функций

• Автор: Пиров, Хайдаржон Хокимжонович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 74 с.

Глава I. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций полиномами в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2.
§1.1. Вспомогательные факты. Классы функций.
Постановка задач
§1.2. Приближение классов функций, определяемых модулями
непрерывности высших порядков
§1.3. Приближение классов функций, определяемых модулями
непрерывности от производной по аргументу
§1.4. Неравенства Джексона для функций принадлежащих
пространству Щ, 1 < р <
Глава II. Поперечники классов аналитических функций в пространстве Н2.
§2.1. Определение поперечников множеств в банаховых
’ пространствах
Ч §2.2. Значение поперечников некоторых классов аналитических
функций в пространстве Н2
§2.3. Вычисление поперечников класса У^
§2.4. Поперечники классов У^п а(Ф) и И/Да
Литератур а

Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению точных значений величины наилучших приближений аналитических в единичном круге функций произвольными комплексными полиномами в пространстве Харди Яр, 1 < р < 2 и вычислению колмогоровских поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций. Термин поперечник множеств в линейном нормированном пространстве и первый точный результат в задаче о поперечниках принадлежат А.Н.Колмогорову [11]. Он впервые вычислил точное значение поперечников классов дифференцируемых периодических функций в пространстве А2[0,27Г]. В 1960 г. В.М.Тихомиров [24] вычислил колмогоровские поперечники классов периодических и аналитических функций, а в 1967 г. Л.В.Тайков [19], основываясь на результат К.И.Бабенко [6[, впервые вычислил поперечник Колмогорова класса функций Нр в Нр, 1 < р < оо. До этого усилия математиков были направлены на вычислении поперечников классов периодических функций.
Систематическое изучение поперечников различных классов аналитических функций началось в 1976 г. в серии работ Л.В.Тайкова [20-23] и чуть позже в работах Н.Айнуллоева [1-4]. Продолжением этих работ явились работы С.Б.Вакарчука [7-9]. Указанные результаты были обобщены и развиты в работах М.Ш.Шабозова [29-30], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова

2 man
7Г/(П—Г)
m/2
(п — г) J sin(n — r)tdt , г < п. (1.4.8)
Так как
7Т/(Т1—Г)
/ sin (n — r)tdt
J п —

и u)m (F^r ^)//2 ~ неубывающая непрерывная функция, отличная от
тождественной постоянной для F^(t) ф const, то неравенство (1.4.6) является следствием (1.4.8), что и требовалось доказать. Аналогичным образом из теоремы 1.3.1 выводится неравенство (1.4.7).
Однако, если функция w,”(F^rt)н2 является выпуклой вверх на [0,7г/(п — г)], то оценка (1.4.6) может быть уточнена. В самом деле, если в неравенстве Иенсена (1.1.8)
/ p{t)F{9(t))dt

J p(t)dt
j P{t)g{t)dt

J p(t)dt
полагать а = 0, b — 7г/(п—г), p(t) — sin (n — r)t, g(t) = t, ip(t) — u>m [F^; t), то простой подсчет приводит к оценке
En(f)Hp < 2—/2a-1u;m(F«; тг/2(п - г)) 1 < р < 2, г < п, (1.4.9)