Нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функций

• Автор: Лазарев, Вадим Ремирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 66 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Некоторые обозначения и терминология
Введение
Глава I Пространства нелинейных непрерывных функционалов 17 §1. Многочлены. Пространства многочленов
§2. Функционалы с конечным носителем. Пространства Lp(X) и L°p(X)
§3. Всюду плотность пространств нелинейных функционалов в С®Ср(Х)
§4. Алгебраическое строение пространств нелинейных функционалов
Глава II Свойства типа дополняемости ЬР(Х) в пространствах нелинейных функционалов
§5. Недополняемость LP(X) в СРСР(Х)
§6. Проектор первого класса Бэра из Lp(X) на LP(X) для счётного X
§7. ст-ретракция всюду плотного в С°рСр(Х) подпространства
на LP(X) для ст-компактного X
Глава III Отношения эквивалентности на классе тихоновских пространств и их некоторые топологические инварианты
§8. Р-эквивалентность
§9. Р -эквивалентные пространства и размерность dim, компактность и число Линделёфа
§10. Топологические свойства пространств X и их колец RP(X)
Литература

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
Здесь мы зафиксируем некоторые обозначения, термины и сокращения, используемые в работе, которые не будут определены в основном тексте.
Прежде всего, символом М обозначается поле вещественных чисел с евклидовой топологией. Поскольку все алгебраические объекты рассматриваются нами только над полем К, то элементы К будут называться просто числами. Через N обозначается множество натуральных чисел. Топологическими пространствами, или просто пространствами, мы называем тихоновские топологические пространства, то есть пространства, в которых любое замкнутое множество отделяется от любой не содержащейся в этом множестве точки некоторой непрерывной числовой функцией, и в которых одноточечные подмножества замкнуты.
Символ СР(Х) обозначает пространство всех непрерывных функций с числовыми значениями, определённых на некотором тихоновском пространстве X. Такие пространства СР{Х) всегда считаются наделёнными топологией поточечной сходимости на X. Относительно терминологии и обозначений, касающихся пространств СР(Х), можно обращаться к монографиям [3, 17]. В частности, элемент стандартной базы топологии пространства СР(Х) обозначается )¥(хг

Часто вместо записи фЄІК((р,К,е) мы пишем |ф-ф|(К)<є. Такая же запись используется, когда одна из функций (р, |/ есть тождественный ноль, а также, когда множество К бесконечно. Знак модуля используется нами также для обозначения расстояния между точками в конечномерном евклидовом пространстве К" и, кроме того, для обозначения мощности множества. Каждый раз из контекста однозначно явствует, в каком смысле употреблён знак модуля.
Символами 0х, Iх обозначаются функции на X, тождественно равные 0 и 1 соответственно. Каждому конечному подмножеству Кс.Х сопоставим некоторое фиксированное дизъюнктное семейство у (К) открытых окрестностей точек из К. Для хе. К обозначим через е{х,К) произвольную непрерывную функцию на X со значениями в числовом сегменте [0, 1], такую, что е{х,К){х)=1, е(х, К)(х)=0, при х'<£. 0(х)е у(К).
Функционалом мы называем любое отображение, заданное на пространстве вида СР(Х) с числовыми значениями. В работе рассматриваются только непрерывные функционалы, то есть элементы пространства С дСДХ))= СРСР(Х). Множество непрерывных функционалов, принимающих, к тому же, нулевое значение в точке 0х пространства СР(Х), обозначается через С°рСр(Х).
Линейную оболочку подмножества А в векторном пространстве Е мы обозначаем через ь'р(А). Пространство всех линейных непрерывных функционалов на топологическом векторном пространстве Е (сопряжённое пространство) обозначается символом Е*.
Определения терминов общей топологии, в частности, кардинальнозначных инвариантов, можно найти в монографии Р. Энгелькинга [14].

Покажем, что эта пара обладает и свойством (ііі). Пусть хе К(/)иК(ё). Может случиться, что хе К(/)пК). Так как пары (Ж(/)>/) и (Д(§Х ё) обладают свойством (ііі), то существуют положительные числа и г4, такие, что при любой достаточно малой окрестности и точки х, найдутся непрерывные функции ф/ и ф„. равные нулю вне множества II, такие, что |/(ф; )]>£/ и (ф,)|>еч По лемме 2.6 эти неравенства будут выполняться, если заменить фуна ef=(p|{x)e(x,K(f)uK(g)) и ф? на ек,=Фг(х) е(л%Аі(/)и/Г(§)). Так как, по предположению, /, то при некотором имеем |(/+§)(?(-е(т,/ІГ(/)иЛГ(§)))|=єг>0.
Если же хє K(f)K(g), то положим єтіпєє). Пусть О -окрестность точки х, не пересекающаяся с (АІ(/)иАІ(§)){х}. Найдётся фє Ср(Х) равная нулю вне Ох , такая, что/(ф) > гг. Тогда
|(/+)(ф)|=|/(ф)+§(ф)|=:|/(ф)|>є/-єх- Так же рассматривается случай хеЩ)Щ).
Понятно, что вшіпієіхе Аі(/)иК()} - искомое, и мы заключаем, что (/+§)єТ°(Х).
Легко доказывается, что если /є Ір (X), X - скаляр, то X/ є Ір{Х), причем при ХО, К(Х/)-К(/).я
Покажем на примере, что пространство £?р(Х) не замкнуто относительно операции умножения функций.
Пример 4.5. Пусть х,ує X сУ(Х). Рассмотрим одночлен ху
предложения 2.8 и доказательства предложения 4.3 следует, что носитель К(ху) = {х, у} удовлетворяет условиям (і) и (іі) определения 2.1. Тогда, какова бы ни была функция ф, равная нулю в точке х, обязательно
(ху)(ф)=0, в противоречие с условием (ііі).