Линейно-инвариантные семейства функций

• Автор: Старков, Виктор Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 298 с.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Д — круг {г : г < 1},
<ЭД — окружность ^ : г = 1};
л.-и.с. — линейно-инвариантное семейство;
9Я — линейно-инвариантное семейство (л.-и.с. );
/С — класс выпуклых функций;
С — класс почти выпуклых функций;
5 — класс аналитических и однолистных в Д функций;
Б в. — подкласс класса 5 функций с вещественными коэффициентами;
Г2а — класс функций с ограниченным граничным вращением;
Ыа — универсальное л.-и.с. ;
М(г,<р) = тах (р(г)^ г £ (0,1), ср непрерывна в Д или в Дт;
г<г
<1(и), го2), гиг) — метрики на римановой поверхности /(Д);
им = л„[/](г) = , 1£д,(£1| ф) =
гг0 ~ + а
1 + аг'
/(г,а) = /о (г, а);
М*0

1 + ге_г' ■
2а [VI- 2е~г^ н.и.р. — направление интенсивного роста функции;
9Л[/] — л.-и.с. , порожденное функцией /;
5'* — класс звездообразных функций, 5* С 5;
II*. — л.-и.с. функций, представимых интегралом Стилтьеса с
комплексной мерой;
Р(л-) — класс аналитических в Д функций р(г) = 1 + Ьг + ... , для
/ 7Г 7Г .
каждой из которых существует 7 6 ( , — ) такое, что Ке {ег1р{г)
£ £
> 0 в Д;
{<^}ш — /н-й тейлоровский коэффициент в разложении аналитической функции <р(г) в окрестности нуля;
Л к — радиус выпуклости в И0л ги(а) — радиус однолистности в Ыа

71{(5) — ир-радиус семейства Ыа; г*(а) — радиус звездообразности в Ыа
В — класс функций Блоха;
||д||й = ф(0)| + эир[(1 — И2)|
функции д;
В о — малый класс Блоха;
Н(а.К) — семейство гармонических К-квазиконформных отображений (см. определение 19.2);
Их (а, К) — радиус однолистности в Н(а,К);
Н — л.-и.с. гармонических отображений (определение 19.3);
О"]' — п-я частная производная по г гармонической функции }'(г. г); дп / — п-я частная производная по г гармонической функции /(.г, ,г); дд/ — п-я производная по направлению вектора егв функции /;
N — множество натуральных чисел;
С(ег6>, /) — предельное семейство в точке егв для функции / из л.-и.с. ;
Ат (С Ст) — единичный поликруг;
О — нуль в Дт;
/ = (1,1,... ,1);
автоморфизм Дт, а к € Д, к

Работа посвящена исследованию линейно-инвариантных семейств (л.-и.с. ) аналитических функций, введенных СЬ. Роттегепке [Р1]. В предлагаемой работе решено несколько известных задач в л.-и.с. аналитических функций; исследованы и в ряде случаев решены некоторые вновь поставленные задачи в л.-и.с.; разработан вариационный метод в л.-и.с. функций, представимых интегралом Стилтьеса с комплексной мерой; установлена и успешно использована связь л.-и.с. конечного порядка с классом Блоха; понятие л.-и.с. обобщено на гармонические локально квазиконформные отображения; понятие л.-и.с. обобщено на аналитические в поликруге функции, установлена связь этих семейств с классом Блоха аналитических в поликруге функций.
Актуальность темы. Исторические сведения. Основным объектом исследования в этой работе являются универсальные линейноинвариантные семейства Д*. Термин линейной инвариантности семейства 9Л аналитических и локально однолистных в круге Д = {г : г <

1} функций вида /(г) = 2+^ ап(ф)гп впервые введен СЬ. Роттегепке

[Р1] в 1964 году и означает, что наряду с каждой функцией / е Ш этому семейству принадлежит и функция
А г я(= 0)) = , т
■*[ 1( Г(Ф( 0))Ф'(0) ~ + "'
при любом конформном автоморфизме ф(г) круга Д. Интерес к линейно-инвариантным семействам вызван тем, что многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными семействами и обладают рядом свойств, общих для всех таких семейств.
Важнейшими примерами л.-и.с. являются классы: К, — выпуклых функций, однолистно отображающих круг Д на выпуклую область; 5 — всех однолистных в Д функций указанного вида; У2а — классы функций с ограниченным граничным вращением, т. е. локально

z( 1 — zeld) 2 6 S*. Поэтому
( z A/2/ * 1_л/2 г
/a(2)= V(i -zy) C(i + -)'2) = (i-z)x(i + zy-x eS*'
Здесь ü < Л < 2 и под wx, как обычно, понимается главная ветвь степенной функции.
Обозначим через ф(ги) функцию, обратную к f(z), заданную на множестве значений функции f(z). Тогда функция d>(cf(z)) при всех 0 < с < 1 однолистно отображает Д на часть Д.
Лемма 2.2. [St6] Функция фДсфДг)) при всех 0 < с < 1, 0 < Л <
2 имеет вещественные коэффициенты при разложении в окрестности

нуля. Предел lim —-— существует при всех 0 < А < 2 и
r^i- 1 - равен е1//Л.
Доказательство. f (z) имеет вещественные коэффициенты, так как fx(z) — f(z). Но тогда и ф(w) в своем разложении в окрестности нуля будет иметь вещественные коэффициенты. Отсюда следует первое утверждение леммы.
Чтобы доказать вторую часть леммы, рассмотрим семейство функций
f(z,X,c) = ——ПрИ всех 0 < с < 1, 0 < А < 2. Очевид-с(1 - но, это семейство из S. Заметим, что (p(cf(z)) » 1, но тогда по
Z —*
теореме А существует предел
Дт |/(г, Л, с)|(1 - О2 = -сДт ) = Т < °°’

где А — lim — —, 0 < г < 1. Таким образом, искомый прег-1-1 -tp(cf(r)) дел существует:
А — lim 1~(^Л^Л(Г)) = Пт 1,~У?а(Д) ^ г_1_ 1 _