Аппроксимативные свойства сумм Фурье и их средних типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках

• Автор: Шихшинатова, Муминат Магомедрасуловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 108 с.

Глава I. Оценка функции Лебега дискретных
сумм Фурье-Чебышева
§ 1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Некоторые факты из теории многочленов Чебышева
§ 1.3. Вспомогательные результаты
§ 1.4. Оценка функции Лебега
ГЛАВА II.О равномерной ограниченности средних Валле-Пуссена
для сумм Фурье-Чебышева
§2.1. Постановка задачи
§ 2.2. Вспомогательные утверждения
§ 2.3. Оценки норм операторов Валле-Пуссена
Литература

Актуальность темы. Работа посвящена приближению непрерывных функций суммами Фурье и их средними типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках.Теория ортогональных многочленов в последнее время получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. В частности, в теоретических и прикладных исследованиях применяются разложения в ряды по ортогональным многочленам.. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = /(£) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы {<рп — <£>„(£)} требуется оценить отклонение частичной суммы 5П(/) = 5’„(/, £) ряда Фурье функции / по системе {у>„} от самой функции /. Эта последняя задача, в свою очередь, приводит к вопросу об оценке функции Лебега для соответствующей системы ор-тонормированных многочленов. На практике в качестве базисов часто применяются классические многочлены, ортогональные на дискретных сетках; именно идея применения разложений по многочленам, ортогональным на сетках для обработки дискретной информации привела П.Л.Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов. Однако до недавнего времени вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами сумм Фурье по многочленам Чебышева, ортогональным на сетках и, особенно, их средних типа Валле-Пуссена оставались малоисследованными. Это, в первую очередь, было связано с отсутствием исследований по изучению асимптотических свойств самих многочленов Чебышева, ортогональных на дискретных сетках. Целенаправленное изучение асимптотических свойств указанных многочленов было начато в работах Шарапудинова И.П., в которых в отдельных случаях получены окончательные результаты и, как следствие, в этих частных случаях решена задача о поведении функции Лебега соответствующих сумм Фурье-Чебышева и их средних типа Валле-Пуссена.

Цель работы
1. Оценить функцию Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева.
2. Исследовать вопрос об ограниченности норм операторов Валле- Пуссена Уп,т{/) Для сумм Фурье-Чебышева.
Научная новизна. Исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по многочленам Чебышева, образующим ортонормированную систему на конечной равномерной сетке. Получены оценки функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулуч-шаемый характер (по порядку). С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Валле-Пуссена У£т (/) Для сумм Фурье-Чебышева равномерно ограничены в пространстве
Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:
-на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ);
-на 12-ой Саратовской математической школе (2002 г.);
-на 13-ой Саратовской математической школе (2004 г.);
-на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ
Краткое содержание диссертации. Нам понадобятся некоторые определения и факты, связанные с многочленами Чебышева Т“’^(х, А) образующими ортогональную систему на сетке Пдг = {0,1 А — 1} с весом
(2003 г.)
д(х) = /і(х, а, Р, А)
Г(А - х + а)Г(х + Р + 1) Г(А - х)Г(х + 1)
то есть
(1)

(п + 0+1)(п + а + 0 + 1)(2 п + а + 0 + 1) + п(п + а)(п + а + 0 + 1)
(2 п + а + 0)(2п + а + 0 + 1)(2 тг + а + 0 + 2)
п(2п + а + (3 + 1)(п + а + (3 + 1)(а — 0—1) (2 п + ос + 0)(2п + си + 0 + 1)(2п + (х + 0 + 2)

п(п + а + Р + 1){2п + а + 0 + I)
(2 п + о: + 0)(2п + а 4- 0 + 1)(2 п + а + 0 4- 2)
п(п + а + 0 + 1)(а - /9)
(2 гг + о: + /3) (2тг + о: + 0 + 2) Учитывая, что Вп = + Уг, получим утверждение леммы.
В дальнейшем мы будем пользоваться обозначением
п(п + а + 0 + 1)(а - 0)
(2тг + а + 0)(2 п + а + 0 + 2)
= г{п,а,0).
Лемма 2.2.2. Пусть а,0 > — 1, тогда справедливо следующее равенство
(у х)^Г 2(ЛГ-1)Г*1 к +1 а+1,0( тТа'0+1(х Ю -^ (У + /с + а + /3+1)М 2 к {У'*!1!* У?'*)'-
(г/ + !)(«/ + а + 0 + 2)(У -и- 1)(У - 1)М
(2н + а + 0 + 3)(М + и + а + 0 + 1)И
тдуи.у, (х, АО - 1Д ;+1(г, Л')]

(У - 1)14
- (У+ А: + а + /3 + 1)М
(У - 1)(а + /3 + 1)(2Х: + а + 0 + 2)
2(2к -- ос 0 )(2к 4* ос + 0 + 3)