Нелинейные краевые задачи сопряжения для разомкнутых контуров

• Автор: Кузнецов, Николай Константинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 129 c. : ил

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ Ф+Ф" = $

ДЯ ПЛОСКОСТИ С ОДНИМ РАЗРЕЗОМ

§ I. Основные обозначения и понятия. Постановка задачи

§ 2. Исследование задачи в случае

§ 3. Исследование задачи в классе В(в

§ 4. Исследование' задачи в классе В?'

§ 5. Случай неограниченного контура

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ Ф+Ф>£

ДЯ ПЛОСКОСТИ С ДВУМЯ РАЗРЕЗАМИ

§ 6. Основные обозначения. Постановка задачи

§ 7. Исследование задачи в классе Вв0>
§ 8. Исследование задачи в классе В(^
ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА .ВИД
ДЛЯ РАЗОМКНЛОГО КОНТУРА
§ 9. Основные обозначения. Постановка задачи
§10. Исследование задачи в случае
§11. Исследование задачи в случае с(.= £
ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДЧИ СОПРЯЖЕНИЯ
К РЕШЕНИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . ‘Ч'(л/+'0

§12. Решение уравнения в общем случае
§13. Общий вид целой периодической функции
§14. Исследование уравнения Ф(лМ) = л/Ф(л/)
СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Краевыми задачами теории аналитических функций называют задачи, в которых требуется найти кусочно - аналитическую, в случае замкнутого контура, или аналитическую, в случае разомкнутого контура, функцию Ф(г), предельные значения которой на контуре удовлетворяют некоторому соотношению
Т(Ф+Ш, Ф'ОО) = о . (0.1)
Первые постановки таких задач, как известно, восходят ещё к середине прошлого века. Необходимость рассмотрения таких задач появляется при решении некоторых задач теории упругости , гидродинамики, электродинамики, теории изгибания поверхностей и из потребностей самой математики. Поэтому исследование краевых задач теории аналитических функций или, как их иначе называют, задач сопряжения, является актуальным научным направлением.
В случае, когда функция Т есть линейная функция от Ф*(Ч и ф-ft), задачу (0.1) называют задачей линейного сопряжения или краевой задачей Римана. Краевое условие (0.1) в этом случае записывают в виде
Ф+(ю = G(t) Задача линейного сопряжения достаточно подробно исследована в различных классах функций. Основные результаты исследований этой задачи содержатся в монографиях Ф.Д.Гахова [15], Н.И.Мусхелишвили[45] , Г.С.Литвинчука[42] и Л.И.Чибриковой [67]. В работе З.И.Зверовича [29] и обзоре Л.И.Чибриковой [68] имеется подробное изложение исследований по линейной задаче

сопряжения (0.2) на римановых поверхностях.
В случае, когда функция Т есть нелинейная функция от Ф*М и ФЪ), задача (0.1) называется нелинейной краевой задачей сопряжения. Решение нелинейных задач сопряжения в общей постановке представляет большие трудности, поэтому эта теория находится пока что на начальном этапе развития, рассмотрены лишь некоторые частные случаи таких задач. Нелинейные задачи сопряжения, рассмотренные до настоящего времени, можно разделить условно на два класса: задачи нелинейные |!в малом” и задачи нелинейные "в большом”. Примером задачи нелинейной " в малом " является краевая задача вида
= ЦСОФЪ) + ХР(Ч,ФДь), Ф'М) ,
где X - малый параметр. Наличие малого параметра X в краевом условии позволяет применить для решения такой задачи принцип Шаудера и метод последовательных приближений. Обзор работ этого направления имеется в монографии А.И.Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова [261 . Примером краевой задачи нелинейной "в большом" является задача (0.1), когда, например, функция Т есть многочлен не ниже второй степени. Такого рода задачи стали исследоваться позже, чем задачи нелинейные ”в малом”, так как их исследование связано с гораздо большими трудностями. При этом следует отметить, что задачи нелинейные "в большом” для замкнутых контуров несколько легче для исследования, чем задачи для разомкнутых контуров. Данная диссертация содержит решение некоторых краевых задач нелинейных "в большом" для разомкнутых контуров, поэтому в дальнейшем речь будет вестись только о задачах нелинейных "в большом".

хотя бы при каком-либо выборе ветвей arg f(x) , непрерывных на Ц и Lj. ( ветви argf(x) на L* и Lz выбираются независимо ). Доказательство. Воспользуемся равенством
Таккак R(x) принимает мнимые значения на L , то
VP - ~t-^а*(х) ах
J v 2зг з R.cx) •

Отсюда следует, что условие (2.29) равносильно условию üm.p=Q. Пусть IU - любое целое число и условие (2.29) выполняется. Тогда, если р+И1(|,>0, то функция , а если р+тср^О ,
то функция ЧСакЕ, . Теорема доказана.
Замечание 7. Пусть arg {(х) - некоторая фиксированная ветвь, а Arg f (>0 - любая другая ветвь. Тогда
ArgKx)|L(=a-rg$(x)|M+2m, , Argf(x)|4=argf(x)|L+2*mz,
П., , К*. - целые числа. Далее имеем
L L, Lj.
sä) •
L Li Lj. Ц
Из равенства (2.13) следует, что
1-ife. 0.«
L L L,
К - целое число (К =0,±.I,±2,... ). Отсюда вытекает, что за счёт выбора ветвей arg {(х) всегда можно добиться выполнения неравенства