О совместных аппроксимациях Паде для некоторого класса марковских функций

• Автор: Пинейро Диас, Луис Рамиро
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 c. : ил

ПАРАГРАФ ПЕРВЫЙ

ПАРАГРАФ ВТОРОЙ

ПАРАГРАФ ТРЕТИЙ

ПАРАГРАФ ЧЕТВЕРТЫЙ

ПАРАГРАФ ПЯТЫЙ

ПАРАГРАФ ШЕСТОЙ

ЛИТЕРАТУРА

В настоящее время увеличился интерес к рациональным аппроксимациям. Одним из разделов этой теории является теория совместных аппроксимаций Паде, которым посвящена настоящая диссертация. Аппроксимации Паде находят широкое применение в различных областях математики и ее приложениях. Так классические апроксимации Паде связаны с такими теоретическими разделами как проблема моментов, ортогональные многочлены, аналитическое продолжение, интерполяционные задачи, спектральная теория операторов. Аппроксимации Паде применяются также в теории дифференциальных уравнений, в теории чисел, вычислительной математике, теоретической физике.

Совместные аппроксимации Паде определяются следующим образом. Пусть

-/А» 1*>
— голоморфные в точке IzO функции (или формальные степенные . ряды). Пусть далее, Ц») и (Ь, 1г; ... у 1т) — два набора неотрицательных целых чисел. Требуется определить многочлены Р,(.г), . . . Рт(2) удовлетворяющие следующим условиям:
1) ^ <2л(г; ^п,- п, + *•
2) Лх«, (.2) £I; ) I zl, 2
3) ал (г; г Ц ... .
Поставленная задача сводится к системе ги линейных однородных уравнений относительно п +/ неизвестных коэффициентов полинома а* (г) . Следовательно, решение задачи всегда существует, но вообще говоря, полином Оп, (.1) с указанными свойствами определяется неоднозначно (даже с точностью до множителя).
Аналогично ставится задача для случая, когда функции
— аналитические в бесконечности.
В случае т = I мы приходим.к задаче о классических аппроксимациях Паде. В этом случае дробь (2 ; г Р,Сі)/апа> определена однозначно и называется аппроксимацией Ладе функции (ряда) (і С*)« В общей ситуации (при т>| ) дроби
С^) ~ ^ І.Ї)У0.(ъ(г,) ^ I -1, 2.у... у м
определяется, вообще говоря, неоднозначно. Систему функций
назовем совершенной, если полином (Хп (.г) определяется однозначно с точностью до постоянного множителя.
Все эти определения приводятся более подробно в § I настоящей работы для случая, когда- ( ^ і Сг) ^ і = ( аналитичны в £^ .
Для иг = і рациональные дроби, строящиеся по наибольшему касанию, применяли многие математики прошлого века. Существующая весьма содержательная теория в этом случае, связанная с теорией ортогональных многочленов, во многом обязана П.Л.Чебышеву, Т.Стильть)зу, А.А.Маркову (см. /2/,/4/,/6/). Класс функций, которые задаются в виде интеграла ь
Кго &
по некоторой мере имеющей бесконечное число точек
роста на отрезке и, ь] , был исследован в указанных работах. Функции такого вида называются марковскими.
В этом случае является 11-М ортогональным многочленом по мере Іі) и, следовательно, определен вполне однозначно (с точностью до числового множителя). —* соответствующий полином второго рода, а (X ) Г Р1 (£)/0.^(2,)
—"И-я диагональная аппроксимация Паде функции и) •

Но принципу Фрагмена - Линде лефа:
Если аналитическая в области ^0_ и ограниченная
функция, а на границе I | О) I ^ М , то внутри области
ИЛИ ^ (?.) — &РУ1л1 ,
Отсюда внутри _о_ I ^ ( * ) | > | ^ Ц) | , I({, О) | > | ^(1)1 ; т.е., — максимальный по модулю корень в _Л_ .
Сформулируем сказанное выше в следующем виде.
Лемма 2.- Множество 10 тех Ь , где характеристическое уравнение имеет ^ Ь корней с максимальным модулем, совпадает с отрезком (о, 1 ] •
Так как 1оп[.0/|3 , вопрос о сходимости совместных аппроксимаций полностью решен. В силу теоремы Парусникова, справедливо главное предложение параграфа.
Теорема 4.- Равномерно на компактных подмножествах области СГ С0, '1 выполняется, что
I) II) - ^ ^ "• ^ ; 1-1; 2.)
г) 11, ^)/,^ (_г) - 4 (£)
И -> СО у I '
где ^ (Т) — корень характеристического уравнения (30)с максимальным модулем.