Решение сингулярных линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

• Автор: Товбис, Александр Исаакович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 107 c. : ил

ГЛАВА Г. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ЛАППО-ДАНИЛЕВСКОГО

§ I. Основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений

§ 2. Общий вид решения линейного дифференциального

уравнения

§ 3. Канонический вид Еиркгофа решения дифференциального уравнения

§ 4. Решение линейного дифференциального уравнения

с малым коэффициентом

Глава II. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОШЯ КОНЕЧНОМЕРОМОЙНЫХ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 5. Формальное расщепление

§ 6. Исследование структуры решения
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОШЯ КОНЕЧНОМЕРОМОРФНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 7. Асимптотическое решение
§ 8. Построение решения методом последовательных
приближений
§ 9. Пример
Ж ТЕРАТУРА

Исследование решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки восходит к работам Фукса, Фробениуса, Пуанкаре. При этом наибольшую трудность.представляет исследование уравнений с иррегулярной особой точкой. Такие уравнения изучались Влркгофом, И.А.Лаппо-Данилевским, Тржизинским, Территиным и другими. Биркгоф, по-видимому, первым начал изучать системы линейных .дифференциальных уравнений или, иначе, матричные линейные дифференциальные уравнения с иррегулярной особой
). К 1930 году И.А. Лаппо-Данилевский постточкой (см. [ 34 - 36 роил фундаментальные решения таких уравнений в виде композиционных рядов. Территин в работе

построил формальное решение
матричного .дифференциального уравнения с иррегулярной особенностьга. Ряд авторов (см.

) изучал матричные уравнения с иррегулярной особенностью над произвольным алгебраически замкнутым полем характеристики 0 . Аналитическая теория матричных линейных дифференциальных уравнений и в настоящее время привлекает внимание многих исследователей. Сюда относится большая
серия работ Н.И.Шкиля и его учеников ( 46
работ зарубежных авторов (Балсер, Дкуркат, Лутц

, Си буя

и другие), ряд 30 - 33 |, Оку—
), последние исследования матриц Стокса (В.П.Гурарий, В.И.Мацаев, А.Я.Повзнер). В последнее время обнаружена интересная связь между теорией матричных линейных дифференциальных уравнений и квантовой теорией поля (см.

Уравнения с регулярной особенностью в банаховом пространстве впервые были рассмотрены.в работе Хилле

работах Ю.Л.Далецкого и.И.К.Коробковой, а также П.А.Шварцман
(см.

, Глава VІ). П.А.Шварцман принадлежит, по-видимому, наиболее полный результат о решении таких уравнений. В работе Мил-

лера

было найдено частное решение уравнения с иррегулярной особенностью при довольно жестких ограничениях на коэффициент уравнения. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с иррегулярной особенностью изучались также в рабо-г
тах И.В.Денисова

Н.А.Сотниченко и Г.П.Давидгока В настоящей работе, в частности, результаты И.В.Денисова получают дальнейшее развитие.
Приведем теперь необходимые определения и факты.
Пусть 23 ~ некоторое комплексное банахово пространство,
X (<£>)- алгебРа линейных непрерывных операторов, действующих
из 23 в 22> •
Определение 0.1. Пусть оператор-функция А (?) '■ определена на множестве 'Т комплексной плоскости I , для которого точка ?=<>=> является предельной. Степенной ряд

ь V-'
где А^ £ оГ (-Й); называется асимптотическим разложением оператор-функции /| (г) в Т, если при любом И € [I
Д (1) - Ъ А}г-* + а(г-»)
0 *
при ? Суо , г? € т . Пишут

А а) ^ Z А; г еТ.
г-° *
Асимптотические разложения оператор-функций обладают теми же свойствами, что и асимптотические разложения скалярных функций. Пусть оператор-функция & (2) имеет асимптотическое разложение

Лемма 2.3. I) ФОР г*'' А (?) со старшим коэффициентом вида (2.16) с помощью преобразования (2.9) может быть приведен к такому ФОР 2 Г~' & (2) , что:
о / о ;
в каждом конечномерном блоке отличные от нуля элементы & (2) ~ Зо расположены в последней строке ;
ДЛЯ всех К<£
2) Если при некоторых натуральных
5() имеют место равенства
АС‘А*'~ 0 при
А^4-- 0 при К < 5, / ^ 2
= о при
то эти же равенства верны для соответствующих элементов операторной матрицы 3(2)
3) Если дополнительно для некоторых натуральных ^ 7- А *
выполняется о при
0 £ К < £ ^ , то и Зк е • - О при О < К < бу . (Здесь
и далее через I 32^ ... , X. к будет обозначаться линейная оболочка векторов х.^} , X к ).
Доказательство. Так же, как и при показатель-