Голоморфные решения солитонных уравнений

• Автор: Домрин, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 205 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
I. Задача Римана в теории интегрируемых систем
1. Уравнения нулевой кривизны и метод одевания
2. Солитонные уравнения параболического типа
2.1. Описание класса изучаемых уравнений
2.2. Построение решений с помощью задачи Римана
2.3. Верхнетреугольные 2 х 2-потенциалы и преобразование Лапласа
2.4. Постоянные потенциалы
2.5. Множители Бляшке и добавление солитона
3. Унитарное условие вещественности
3.1. Условия разрешимости задачи Римана
3.2. Первое доказательство теоремы
3.3. Второе доказательство теоремы
3.4. Приложения
4. Сравнение с быстроубываюгцим случаем
4.1. Прямое преобразование рассеяния
4.2. Обратное преобразование рассеяния
4.3. Унитарное условие вещественности
5. Сравнение с конечнозонным случаем
II. Локальный вариант метода обратной задачи рассеяния
1. Обратное преобразование рассеяния
1.1. Леммы о пространствах формальных степенных рядов
1.2. Разрешимость задачи Римана
1.3. Свойства обратного преобразования рассеяния
2. Прямое преобразование рассеяния
3. Локальная голоморфная задача Коши для солитонных уравнений параболического типа
4. Унитарное условие вещественности
III. Мероморфное продолжение решений солитонных уравнений
1. Линейные уравнения и связанные с ними
1.1. Свойство продолжения
1.2. Задача Коши и голоморфное продолжение решений линейных уравнений

1.3. Мероморфные решения нелинейных уравнений
2. Уравнение Кортевега-де Фриза и связанные с ним
2.1. Свойство продолжения
2.2. Расходимость ряда Концевича-Виттена
3. Нелинейное уравнение Шредингера
4. Уравнения типа Кортевега-де Фриза
4.1. Формулировки результатов
4.2. Подготовка к доказательству теоремы
4.3. Доказательство теоремы
4.4. Доказательство следствия
IV. Некоммутативный комплексный анализ: теория
унитонов
1. Введение
1.1. Гармонические отображения из S2 в U(n)
1.2. Некоммутативный вариант задачи
1.3. Область определения функционала энергии
1.4. Дальнейшее содержание главы
2. Предварительные сведения
2.1. Уравнения экстремалей
2.2. Эллиптическая регулярность
2.3. Решения энергии
2.4. Грассмановы решения
3. Теория унитонов
3.1. Топологический заряд проектора
3.2. Добавление унитона
3.3. Канонические унитоны
3.4. Базовые унитоны
3.5. Грассмановы решения
3.6. Диагональные решения 7/( 1)-модели
4. Пространства решений Г7(1)-модели
4.1. Обозначения и предварительные сведения
4.2. BPS-решения
4.3. Грассмановы решения дефекта 2 и сферы неграссмано-
вых решений
4.4. Решения с е
4.5. Решения сг
4.6. Решения с е
4.7. Решения с е
4.8. Заключение
Список публикаций автора по теме диссертации
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 116 наименований. Ее основной целью является изучение вопросов аналитического продолжения голоморфных решений вполне интегрируемых нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными (солитонных уравнений). Отметим, что эти вопросы нетривиальны только для эволюционных уравнений параболического типа. Достижению указанной цели посвящены главы I—III, где для ростков таких решений установлены теоремы о принудительном аналитическом продолжении и описаны все возможные оболочки мероморфности, причем основным инструментом для этого служит развитый автором локальный вариант метода обратной задачи рассеяния для голоморфных потенциалов. В главе IV внешне совсем другими методами дается описание всех голоморфных (а также антиголоморфных и смешанных) решений достаточно малой энергии для некоммутативного (квантового) аналога одного из важнейших солитонных уравнений гиперболического типа: уравнения гармонических отображений двумерной сферы в унитарную группу. Объединяющей идеей всех глав работы является общая геометрическая основа солитонных уравнений (калибровочные преобразования плоских связностей), с которой и начнется наше изложение в § 1 главы I. Но введение удобнее будет начать с формулировки некоторых результатов главы III, а точнее, с их классических предшественников.
Хорошо известно, что всякое решение u(x,t) уравнения теплопроводности Ut — ихх в окрестности точки (т0, ta) G R2, дважды непрерывно дифференцируемое по х и один раз по t, автоматически является бесконечно дифференцируемым по t и аналитическим по х (это результат Э. Хольмгрена 1908 г.). Менее известно (хотя было открыто С. В. Ковалевской еще раньше, в 1875 г.), что если такое решение аналитично также и по t, то по х оно обязательно будет целой функцией, т. е. радиус сходимости ряда Тейлора функции и(х, t о)

автоматически имеем йп(Ф — Ф0) С с1ош(а,,:) для всех к 2. Затем рассмотрены решения энергии 0 и грассмановы решения (т.е. решения вида I — 2Р для некоторого ортопроектора Р : Нп —> //”).
В § 1У.З изложены общие результаты теории унитонов, начиная с некоммутативных аналогов класса Чженя в формуле (0.36) и процедуры добавления унитона (0.35). Из существования канонических отрицательных унитонов (п. IV.3.3) выводится наличие унитонной факторизации и целочисленность энергии (с точностью до множителя 87г) всех изучаемых решений. В оставшейся части § IV.3 введено понятие канонического ранга решения и дано описание решений с наименьшим и наибольшим возможным значением канонического ранга при данной энергии, а также установлены некоторые общие свойства грассмановых решений, которые затем иллюстрируются на примере диагональных решений С/(1)-модели. В частности, в п. IV.3.5 вводится важное для дальнейшего понятие дефекта грассманова решения.
В § IV.4 изучаются пространства решений 1/(1)-модели, представимых в виде конечномерного возмущения тождественного оператора. Основными целочисленными характеристиками таких решений являются нормированная энергия е, канонический ранг г и минимальное унитонное число и, всегда удовлетворяющие неравенствам геипе. В п. IV.4.2 мы описываем множество всех ВР-решений, т.е. решений с и = 1 или, что то же самое, некоммутативных аналогов голоморфных отображений из СР1 в грассманианы, вложенные в и{п). Оказывается, что все ВРЭ-решения энергии е составляют пространство Се, вещественно-аналитически вложенное в унитарную группу и (И) гильбертова пространства Н. Это автоматически дает описание всех решений, для которых либо е 2, либо г = 1, либо г = е: все они являются ВРБ-решениями. В п. IV.4.3 доказано, что всякое грассманово решение С дефекта 2 порождает сферу неграссмановых решений, интерполирующую между С и некоторым ВРв-решением той же энергии. Поскольку любое не-ВРБ-решение с г = е — 1 принадлежит одной из этих сфер, мы автоматически получаем описание всех решений с е = 3 (п. IV.4.4). В п. IV.4.5 установлено, что множество всех не-ВРБ-решений энергии е и канонического ранга 2 является прямым произведением С1 на цепочку из [(е — 1)/2] двумерных сфер, последовательно склееных друг с другом своими полюсами. Это автоматически дает описание случая е = 4 (п. IV.4.6). В п. IV.4.7 изучены случаи г — е — 2 (частично) и е = 5. Кроме уже известных нам множеств решений с е = 5, г = 4 (3-параметрическое семейство сфер) и е = 5, г = 2 (произведение С1 на цепоч-