Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменного

• Автор: Эйрих, Надежда Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Биробиджан
• Количество страниц: 109 с.

1. Обобщенные приведенные модули

1.1. Определения

1.2. Примеры приведенных модулей

1.3. Приведенный модуль как функция множества

1.4. Вычисление приведенных модулей

1.5. Принципы композиции

1.6. Приведенный модуль И.П. Митюка

1.7. Обобщение приведенного модуля И.П. Митюка

1.8. Свойства приведенного модуля М(В, Г, Д Д, Ф)

2. Приложения в геометрической теории функций

2.1. Теорема искажения

2.2. Двуточечные теоремы искажения для производных Шварца
2.3. Обобщение неравенства Поммеренке
2.4. Неравенства для коэффициентов однолистных
функций
2.5. Оценки коэффициентов алгебраических полиномов
2.6. Экстремальные разбиения комплексной сферы
2.7. Теоремы покрытия
Список литературы

В физике широко используется понятие емкости, введенное Фарадеем еще в начале 19 века. Формализованное обобщение этого понятия оказалось весьма плодотворным и нашло многочисленные приложения в математике. Различные виды емкостей активно применяются в функциональном анализе, теории функций, а также в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см., например, [4, 5, 31, 34, 41,44, 47, 93]). Одним из основных методов современной геометрической теории функций является метод симметризации, основанный, в том числе, и на теории емкостей множеств и конденсаторов [39, 67].
С емкостью конденсатора тесно связан так называемый приведенный модуль, который возникает в асимптотике емкости конденсатора при стягивании его пластин в точки. Понятие приведенного модуля области восходит к классическим работам Г. Греча и О. Тейхмюллера начала 20-го века. Большое влияние на применение приведенного модуля в геометрической теории функций комплексного переменного оказали исследования Л. Альфорса и А. Берлинга [59], Дж. Дженкинса [10], П. Дюрена [68]-[72],
В. Хеймана [45]. Многочисленные обобщения и разновидности приведенных модулей были даны в работах В.В. Асеева [6], В.Н. Дубинина [12]-[16], [18, 19], П. Дюрена [69, 72], Е.Г. Емельянова [21]-[23], Г.В. Кузьминой [24]-[28], В.М. Миклюкова [32], И.П. Митюка [35, 36], А.Ю. Солынина [42, 43] и других математиков. О широте приложений приведенных модулей можно судить, например, по работам Р. Барнарда и А.Ю. Солынина [62], Д. Бет-сакоса [63], А.Ю. Васильева [91, 92], Г. Виттиха [94], Д. Гайера и В. Хеймана [73], Л. Карлесона и Н.Г. Макарова [65], Л.В. Ковалева [78], В.М

клюкова [33], С.Р. Насырова [81], К. Поммеренке [85], А. Пфлюгера [84] и многих других. Приведенные модули тесно связаны с такими понятиями, как емкость Робена и функция Робена, изучению и применению которых в последнее время посвящено немало работ [11], [68]-[72], [81, 83, 90, 92]. С помощью приведенных модулей получено большое число результатов в геометрической теории функций: их применяют при изучении квазиконформных и квазирегулярных отображений [78, 93], однолистных гармонических отображений [66], многолистных функций [45]. В теории конформных отображений приведенные модули нашли эффективное применение при доказательстве теорем покрытия и искажения [10, 18].
В теории плоских конденсаторов существуют два подхода к изучению приведенных модулей: экстремально-метрический и емкостной. Систематическому развитию первого подхода посвящены работы Г.В. Кузьминой, а также Е.Г. Емельянова и А.Ю. Солынина (см.[27,43]). Мы придерживаемся второго подхода, когда приведенный модуль возникает в асимптотике емкости обобщенного конденсатора при стягивании его пластин в точки [13]. Оба подхода дополняют и обогащают друг друга. Заметим, что ранее при емкостном подходе рассматривались в основном "внутренние" приведенные модули относительно произвольного конечного числа точек, в то время как при экстремально-метрическом подходе дополнительно использовались такие разновидности "граничного" приведенного модуля, как приведенный модуль двуугольника и треугольника.
Цель диссертационной работы - развивая емкостной подход, ввести и изучить наиболее общие понятия приведенных модулей, включающие как его внутренние так и граничные разновидности при любом количестве верТеорема 1.10. Пусть B,T,Z,A и Ф -из определения приведенного модуля, и пусть функция w = f(z) конформно и однолистно отобраоїсает множество В на мнооісество f(B) так, что множество Г переходит в смысле граничного соответствия в множество /(Г), а точки Zk из совокупности Z - в некоторые точки f(zk), к = образующие совокупность W. Тогда, если существует приведенный модуль М(В, Г, Z, Д,Ф), то существует и приведенный модуль Л1(/(В),/(Г), И7, Д, Ф), и наоборот, из существования второго приведенного модуля вытекает существование первого, при этом справедливо равенство
М(В, Г, Z,Д, Ф) = М(/(В), /(Г), IД, ф), где Ф = и = «|/'Ы|.
Доказательство. Из геометрического смысла модуля производной ПОЧТИ круг E(Zk, ßkrUk), Zk Є В, переходит при отображении w = f(z) в почти круг E(f(zk),Pki'l'k)• Конформная инвариантность интеграла Дирихле дает
|С(г; В, Г, Z,Д, Ф)| = I C(r; /(В), /(Г), W, Д, Ф)|.
Осталось воспользоваться леммой 1.2. Теорема доказана.
В частном случае, если Z = {^о}, Д = {1}, Ф = {г}, то по теореме 1.10.
М(В,Г. {г0}, {1}, {г}) = Л/(/(В), /(Г),{/(г0)}, {1}, {|/'(zo)W)
= і (| C(r;/(B), ДГ),{/(ч)}, {1}, {|/'(го)И| + log rj
= Hm (|C(p; ДВ), /(Г), {/(*)},{!}, {,}| + ± log =
= /(Г), {/(го)}, {1}, {r}) - i- log |/'(г„)|. (1.8.28)