q-аналоги специальных функций и представления конечных групп

• Автор: Казинец, Виктор Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 85 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Представления полной линейной группы
§ 1. Некоторые вопросы комбинаторики полной линейной
группы над конечным полем
§2. Представления полной линейной группы
§3. Реализация некоторых комплексных представлений полной линейной группы и алгебра сплетающих
операторов
Глава 2. Сферические функции представления йх
§ 1. Вычисление сферической функции представления бх
§2. Представления симметрической группы
Глава 3. Представления Стейнберга симплёктической группы
§ 1. Описание представлений Стейнберга симплектической
группы
§2. Сферические функции симплектической группы
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Связь теории специальных функций и теории представлений групп была отмечена еще в работах С. Ли. В последствии в работах Гельфан-да И.М., Граева М.И., Виленкина Н.Я. и других наряду с описанием неприводимых представлений существенное внимание уделялось матричным элементам этих представлений, их характеров, сферических функций которые являлись специальными функциями. Групповые методы позволяли получить ряд новых свойств этих функций. В настоящей работе рассматриваются q-аналоги специальных функций, связанные с комплекснозначными представлениями классических групп над конечным полем. Основное внимание уделяется полной линейной группы GL(n, Fq). Полученные результаты переносятся на другие классические группы над конечным полем и на группы Вейля этих классических групп. Для того, чтобы получить q-аналоги специальных функций, требуется описать и построить неприводимые представления конечных групп.
Проблеме описания и классификации комплексных представлений классических групп над конечным полем посвящено много работ. Основополагающей работой в этом направлении является работа Грина [40]. Исследование как в самой работе [40], так и в последующих посвящено в основном вычислению характеров неприводимых представлений. На основе операции «умножение кружочком» введенной в [29], Д.К. Фадеев описал структурные свойства представлений группы GL(n, q) на языке модулей и матриц с минимальным использованием теории характеров. Аналогичные результаты были в дальнейшем получены С.В. Нагорным в [21], [22] для других классических групп. Для этого были введены понятия простого и примарного представления. Простое представление - это то же самое, что и представление дискретной серии, аналитическое представление. Если ô -простое, то ôk -So§o...o5 будет всегда приводимо при к>1. Неприводи-
мые компоненты этого представления названы примарными. Оказывается, что число различных примарных представлений, соответствующих простому 5 и содержащихся в 5к, равно числу разбиений числа к на натуральные слагаемые. При этом любое неприводимое представление однозначно определяется произведением некоторых примарных соответствующих некоторым различным простым. В терминах статьи Спрингера [46] речь идет о структуре представлений, индуцированных представлениями дискретной серии группы М, продолженными естественным образом на Р=М-и, где Р -параболическая подгруппа, и - ее унипотентный радикал. Ряд работ посвящен изучению коммутаторных алгебр представлений такого типа. Так в работах [27], [37], [38] получили, что для минимальной параболической подгруппы РсО и ее единичного представления е коммутаторная алгебра представления тбре изоморфна групповой алгебре С[¥] группы Вейля ¥ группы С. В этой же ситуации, при одномерном представлении группы Р, Стейнберг в [27] и Ивахори в [27] доказали, что коммутаторная алгебра
представлений тбрСО изоморфна С[¥(о))], где ¥(о)с:¥ - нормализатор представления со. Во всех вышеперечисленных работах не рассматривалась конкретная реализация представлений (здесь следует в первую очередь отметить работу Танаки [49], где было проведено непосредственное построение и классификация всех неприводимых представлений группы БЦЗ, ц)). Очевидно, что вначале необходимо было рассмотреть реализацию примарных представлений (представлений дискретной серии).
Первые результаты в этом направлении появились в 70-х годах в работах Зелевинского [10], Данкла [36], [37], Стентона. В этих работах рассматривалась реализация представления тс1р.иг'С|)(е) в пространстве функций на Грассмановом многообразии, здесь А, - разбиение числа п на два слагаемых. Так как алгебра сплетающих операторов в этом случае коммутативна, то данное представление раскладывается в прямую сумму непри-

менно значения равные 0, 1 или -1.
Докажем теорему 3.17. а). Рассмотрим оператор А
А-/(хх)= Е/(х0.
[*!,!*/]=»
Подействовав оператором А., на функцию /(х' ), получим
А1*-/(4)= Е/(х>'). (3.18)
[4;*х]=а
Отсюда, (аа' а,) не равняется нулю тогда и только тогда, когда существует флаг х'( такой, что [х:х"] = а/. То есть нужно определить каковы матрицы пересечения флагов х и х". Так как в равенстве (3.18) суммирование ведется по всем флагам, отличающимся от флага х.' лишь /-ой компонентой, то все строки матрицы а/, за исключением /-ой строки, будут
совпадать со сторонами матрицы а. Пусть х„ - /-я компонента флага х', тогда матрица пересечения данного подпространства с флагом х„ равна (ал,а;2
равна (ап
1) /<к, (а,а,, -1
2) /—к, (ал,аг2
3) 1>к, (а(1
При этом / принимает только те значения у, для которых а/; > а,н,
а//> а/-1д +ам,>-1 -ам,м> И такие значения у, для которых а;+1т>а(т,
а,,1.т > аш,га-1 +а,-.т -а,-,ш-1 Переход от матриц а = (а,7) к матрицам Ь - (ьу) дает следующий результат. Матрица Ь; будет отличаться от матрицы Ь лишь элементами с координатами (/, /), (/, к), (/+1, /), (/+1, к). При этом, если к>