Восстановление функций по неточно заданному преобразованию Радона и неравенства для норм некоторых операторов

• Автор: Баграмян, Тигран Эммануилович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с. : ил.

Оглавление

Введение
0.1. Предварительные сведения
Глава 1. Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным значениям оператора радиального интегрирования
1.1. Восстановление функций из пространства Харди по
информации о значении оператора радиального интегрирования, заданной неточно в среднеквадратичной метрике
1.2. Восстановление функций из пространства Харди /12 по
информации о значении оператора радиального интегрирования, заданной в виде конечного набора коэффициентов Фурье,
вычисленных с погрешностью в среднеквадратичной метрике
1.3. Восстановление функций из пространства Харди /12 по
информации о значении оператора радиального интегрирования, заданной в виде конечного набора коэффициентов Фурье,
вычисленных с погрешностью в равномерной метрике
Глава 2. Оптимальное восстановление функции по ее неточно заданному преобразованию Радона
2.1. Оптимальное восстановление функций из пространства Харди /
по неточно заданному преобразованию Радона
2.2. Оптимальное восстановление функций из по неточно
заданному преобразованию Радона
2.3. Оптимальное восстановление функций на сфере по неточно
заданному преобразованию Минковского-Функа
Глава 3. Оптимальное восстановление производной функции и одно
неравенство для производных на отрезке
Список использованных источников

Введение
Диссертация посвящена применению теории оптимального восстановления к ряду задач, возникающих в компьютерной томографии, а также изучению неравенств для производных. Различные задачи восстановления функций, функционалов и операторов на некоторых множествах (классах) по неточной или неполной информации об элементах этих множеств исследуются в рамках теории оптимального восстановления - современного раздела теории приближений. Задача оптимального восстановления берет свое начало от работ А.Н. Колмогорова [1], где рассматриваются наилучшие (на всем классе) методы приближений. Развитие численных методов привлекло внимание к проблеме численного интегрирования. Различные квадратурные формулы представляют собой методы восстановления интеграла f(x)dx по информации, являющейся значениями функции f(x) в точках интервала [а, Ь].
Их точность напрямую зависит от рассматриваемого класса функций. Интеграл является примером линейного функционала, поэтому задача о квадратурных формулах получила естественное обобщение на общий случай линейного функционала в векторном пространстве. Важные результаты в этом направлении были получены в работах A. Sard [2], где рассматривается приближение интеграла линейными методами и обсуждается обобщение результатов на произвольный линейный функционал, и С.М. Никольского [3], где указывается оптимальный выбор точек, в которых необходимо вычислить значения подынтегральной функции. Точная постановка задачи оптимального восстановления впервые появилась в кандидатской диссертации С.А. Смоляка [4], в которой показано, что среди всех оптимальных методов восстановления действительнозначного линейного функционала по информации, являющейся значениями конечного числа других линейных функционалов, всегда имеется линейный метод

При А2 = 0 из (1.6) следует, что а = (0) и т0(д) = 0. Тогда
вир И^оЫ - /|Ц2(В*) < аир II/II 1,2(В11) < ЛЬ
/еВк2 1еВк
ЕНо1 ЕЙ? К/1к-91к2<
При Лг > 0 имеем
N-lN(l) . . ( 2 00 ^9) е
км - = Е Е + ЕЕЧй
1=0 к= 1 /=ЛГ к=
~ ^ (аы(1 + 1)(эы - щ) + /м(°ы - 1)) “ ^ /
Е Е1 ^ - + ЕЕЧгг-
Аналогично теореме 1, применим неравенство Коши-Буняковского. Получим Л-1АГ(0 / / Ч2 00 ЛГ(/)
17Т1, _ ^ _
1=0 к= 1 V 4 - ■ -/ у 1=м к=
(з) - /|1т2(в*1) < X] £ ( 9к1 ~ 7ТТ + + IX X]
где Пи определено в (1.12). Равенства (1.6) эквивалентны неравенствам Пи < 1. Заметим также, что 4+5 — ^ и П0Т0МУ ттур < ПРИ I > N . Тогда
е(5Л2, АГ, 5, т„)2 = вир ||т(Ч - /|| т <

Е ГЧЕЙ?1*Ь-да12<а
ЛГ-1 ЛГ(0 , . 2 оо ЛГ(
8и„Р ХЕ^и-тЛ) + ХХХ/'ы<

ЕГ=о’ ЕЙ? |Л7№-т-12<<52 А2Ч + Ап
/ + 1,
/=0 Л=1 4 / /=0 к=