Метод регуляризации решения задачи связанного псевдообращения

• Автор: Ястребова, Ирина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 134 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава I. Вспомогательные понятия и предложения

§1. Псевдообратный оператор

§2. Задача псевдообращения

Глава II. Задача связанного псевдообращения

§3. Задача п-связанного псевдообращения: постановка и

разрешимость

§4. Регуляризованная задача п-связанного псевдообращения

§5. Сходимость регуляризованных решений

§6. Устойчивость регуляризованных решений

Глава III. Выбор параметра г из вспомогательного
регуляризирующего алгоритма
§7. Вспомогательный регуляризирующий алгоритм
§8. Вспомогательные функции
§9. Критерии выбора параметра регуляризации
9.1. Принцип невязки
9.2. Обобщенный принцип невязки
9.3. Принцип сглаживающего функционала
9.4. Принцип квазирешений
§10. Вспомогательная функция р(г): продолжение

§11. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в
принципе невязки
Глава IV. Последовательный выбор параметров регуляризации.
Конечномерная аппроксимация вариационной задачи
§12. Общий регуляризирующий алгоритм при
фиксированном г
§13. Критерии последовательного выбора параметров
регуляризации
§14. Проекционный способ вычисления регуляризованных
решений
Глава V. Приложение
§15. Задача оптимального управления
§16. Проекционная схема решения
Заключение
Литература
Введение
Потребности практики вопреки известному высказыванию Ж. Ада-мара привели к необходимости изучения некорректных задач. Часто абстрактной моделью этих задач служит линейное операторное уравнение
Ах — у (0-1)
с оператором А, действующим между гильбертовыми пространствами
X и У, и необязательно непрерывным. По уравнению (1) требуется
найти нормальное псевдорешение х:
х € А^тт ||Ат - у|| = ХА,
хеВ(Л) (0.2)
х = а^тт ||х||.
хбЛ'д
Если А+ - псевдообратный к оператору А, то нормальное псевдорешение
х — А+у, (0.3)
и задачу его отыскания можно назвать задачей псевдообращения.
Не останавливаясь на истории вопроса, отметим, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (3) семейством {та}, а > 0, экстремалей функционала
Фа(я) = ||Ах - у||2 + аЦтЦ^. (0.4)
Теория методов регуляризации решения уравнения (1) хорошо развита и нашла отражение в монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [30], М.М. Лаврентьева [14], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [11],
Ф.П. Васильева [6], а также в работах [1], [5], [8], [15], [16], [21], [23],
[26], [28], [32] и многих других.
ментов вида

х = J2xi + Qkh, V/t Є D,

где Хі Є П Nj1, і — 1, A: и определяется однозначно.
(3.11)
Доказательство проведем по индукции. При к = 1 в следствии 2.6 была установлена структура множества всех псевдорешений (2.6), которая в принятых нами обозначениях имеет вид (11):
{ті + І /і Є Л},
где ті Є N0 П Аг11 и определяется однозначно.
Пусть элементы множества Хк~ имеют вид

х— Ylxi + Qk-Ф, V/і є и.

(3.12)

Zk - £ BkXi i=
и согласно
(3.13)
Тогда по определению
ATfc = (т € ATfc_i I ||Bjtx - 2*11 = inf IIBku - г*II |.
Ho inf \Bku - zk II = inf BkQk-h- zk - Bk (e xtj
w€Ajt-i h£D i=l /.
лемме 2.1 инфимум достигается на решениях уравнения
BkQk-h = РщвЖХ)
По предположению Хк не пусто, а, значит, уравнение (13) разрешимо. Общее решение уравнения (13) из D согласно (2.6) имеет вид
h Хк Ф PN{BkQk-i)ui ^ ^
где хк Є N(BkQk-і)х и определяется однозначно. Подставляя найденное значение h в (12) и учитывая, что N{BkQk-)х = Nk- П Nk и Ph'(BkQk-i) = Qk-1 + Qk, получаем структуру множества Хк: к-1 к
х = £>,• + Qk-i {хк + РN(BkQk-i)u) = Y,xi + Qk-i[Qk-iu + Qku) =
І= 1 1=