Весовые оценки одного класса интегральных операторов дробного типа

• Автор: Мохаммади Фарсани Соруш
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1.1. Линейный регулярный интегральный оператор
§ 1.2. Интегральные операторы Риманна-Лиувилля
§ 1.3. Интегральные операторы с ядрами Ойнарова
Глава 2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ДРОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ
§ 2.1. Ограниченность
§ 2.2. Компактность
§ 2.3. Двойственные варианты
Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
§ 3.1. Ограниченность
§ 3.2. Компактность
Глава 4. ПРОБЛЕМА НАСЫЩАЕМОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ
§ 4.1. Введение
§ 4.2. Основные результаты
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Историю дробного исчисления следует, по видимому, вести с работ
Н. Абеля и Ж. Лиувилля. В работе И. Абеля [27] в связи с задачей о таутохроне решено интегральное уравнение
/ = х>а’Ъ<а<1- (0-ОЛ)
Решение дано для произвольного а Є (0,1), хотя задача о таутохроне приводит к случаю а = В 1832—1837 гг. появляется серия работ Ж. Лиувилля [46], [47], [48], [49], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродиффе-ренцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в работе ]46], 1832 г., основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям /(х), представимым в виде ряда

/(я)

Для них, по определению Ж. Лиувилля,

£“/(*) = (0.0.2)

при любом (комплексном) а. Ограничительность этого определения, очевидно, связана со сходимостью ряда. Исходя из определения (0.0.2), Ж. Лиувилль получает в работе [46, с. 7] формулу дифференцирования степенной функции. Более того, в этой же работе на с. 8, Ж. Ли-увилль выводит (не совсем строго с современной точки зрения) фор-
называемую теперь (без множителя (—1)а) лиувиллевской формой дробного интегрирования.
Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана [67], и X. Хольмгрена [38]. Работа Б. Римана, выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована только в 1876 г.— спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования
Шх) = W)l Wdt' > °' а > °' (аа4)
служащей с тех пор наряду с конструкцией (0.0.3) Ж. Лнувилля одной из основных форм дробного интегрирования. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в [65] и в капитальной монографии [16], где, в частности, выражение (0.0.4) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лиувилля.
Для 0 < р < оо обозначим через IP := 1Р(Ш+) множество всех измеримых на Е+ = [0, оо) функций таких, что
11/11р := Qf If(x)pdxj < оо.
При р = оо,
||/||р := esssup|/(x)| = inf {а > 0 : mes({a; € М+ : f(x) > а}) = 0}

(истинный или существенный супремум).
Первой из всего круга задач, связанных с дробным интегродиффе-ренцированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида
(J (Iafu)(x)v(x)gdx где 0 < p,q < оо, р > 1, и(х) и v(x)— локально суммируемые весовые функции.
ГЛАВА 2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ДРОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ
Пусть а £ (0,1). Рассмотрим дробный оператор Римана-Лиувилля
с локально суммируемыми весовыми функциями и и V. В этой главе найдены критерии I? —> Г9—ограниченности и компактности оператора Та, когда 0 < р, 1/а, при условии, что и монотонно убывает на К+. Также даны двойственные варианты этого результата.
Результаты этой главы опубликованы в работе [83].
§ 2.1. Ограниченность
Теорема 2.1. Пусть а € (0,1), < р < д < оо, V £ ЭД1+ и и £ 9Л+ монотонно убывает на [0,оо). Тогда неравенство
вида
/ Є Ш+, (2.1.1)
выполнено, если и только если, Ао + А < оо, где
(2.1.2)
и Ах := БиркегАк, где
Ак ьир Ак(і)
«Є(22'=+1]
Более того, С « Ао + А.