О голоморфном и плюригармоническом продолжении функций и распределений, заданных на гиперповерхности

• Автор: Мысливец, Максим Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 70 с.

1. Общая характеристика работы

2. Содержание диссертации

Глава 1. Предварительные сведения и обозначения

1. Функциональные пространства

2. Теоремы о голоморфном продолжении, (7й-функции

3. Теоремы о плюригармоническом продолжении

Глава 2. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли

1. Производные потенциала простого слоя

2. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли

3. С-й-распределения и критерий для них

4. Теорема о скачке <9-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли

Глава 3. Плюригармоническое продолжение функций с границы
области
1. Задача Дирихле для плюригармонических функций
* 2. Задача Неймана
3. Описание пространства Нагт^Б)
4. Случай шара

5. Плюригармоническое продолжение гладких функций
Литература

1. Общая характеристика работы
Актуальность темы. В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со уз. связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой облаI СТИ.
С.Бохнер и Е.Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [26]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали СЯ-функциями.
Данное утверждение, называемое сейчас теоремой Гартогса-Бохнера (см. [20, 21]), говорит о том, что для того чтобы функция /, заданная на границе ограниченной области И в Ст (т > 1) со связным дополнением, имела голоморфное продолжение в О необходимо и достаточно, чтобы / была СД-функцией на Л, то есть
у/&

(0.1)

идпНдо — 0 (3.1)
для любой комплексной гармонической функции Н £ УУ2 2(П) такой, что дпН — действительная. Тогда и £ Рб3+1^2 (Р).
Доказательство. Пусть II € УУ^+1/,2(П) — гармоническое продолжение и см. задачу Дирихле (1.12). Пусть V € УУз+1^2(.0) это ре-
<9«
шение задачи Неймана см. (1.14) с граничными условиями
на сШ. Покажем, что функция Т = /7 + гУ голоморфна в I).
Так как € УУг 1 действительна на дБ, из условия (3.1) следует,
что / идпРйо
Тогда интеграл
IБ * 9Т = I ДР А 9Т = 2х-гагп I
80 О О &

/. п -а/£
<9Т
ей; = 0,
о *=1^*
так как Ке/(Б - гУ)дпРда = / идпБдо. Тогда 9Т = 0 в I). о ао
ТЕОРЕМА 3.3. Пусть Б — строго псевдовыпуклая область, если (и,дпН) — 0, где и £ Т>'(Г) и вещественное, а Н любая функция, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1, то существует плюригар-моническая функция и конечного порядка роста вблизи Г такая, что [Щ о = и.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Строим и гармоническое продолжение распределения и. Тогда [У]0 = и я и — конечного порядка роста (см. [34]).