Аппроксимация функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений

• Автор: Федоровский, Константин Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 221 с.

Введение
Теория аппроксимации функций аналитическими функциями (голоморфными, гармоническими, полианалитичсскими и др.) и многочленами в нормах классических пространств функций (равномерной, Ст. т > 0, 17, р 1, и др.) на замкнутых подмножествах в N > 1, представляет собой сложившееся и актуальное направление в комплексном анализе.
Хорошо известны классические результаты М. В. Келдыша, Ж. Дени и М. А. Лаврентьева о равномерных гармонических аппроксимациях на компактах в Ел (1940-е годы), С. Н. Мергеляна (1952 г.) и А. Г. Витушкииа (1967 г.) о полиномиальных и рациональных аппроксимациях голоморфными функциями па плоских компактах.
Ряд интересных и важный результатов о равномерной приближаемое™ функций многочленами и рациональными функциями комплексного переменного были получены в 1940-1980-х годах в работах II. У. Аракеляна, Е. Бишопа, Д. Вермера, Т. Гамслина, Д. Гарнетта, И. Гликсбсрга, А. Глисона, А. А. Гончара, К. Гофмана, Е. П. Должснко, П. Кертиса, М. С. Мельникова, А. Рот, У. Рудпна, Д. Уолша, В. П. Хавина и др.
С 1970-1980-х годов эта тематика приобретает еще большую актуальность. В ней начинают рассматриваться существенно болсс общие задачи аппроксимации функций решениями (полиномиальными, целыми, мс-роморфными с локализованными особенностями) однородных эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными комплексными коэффициентами. При этом аппроксимация рассматривается в метриках классических пространств функций (таких, как равномерная, Ст, т > 0, или И, р 1) на компактных (или на замкнутых) множествах на плоскости пли в пространстве, а также в специальных абстрактных пространствах обобщенных функций (распределений). Надо отмстить, что в рассматриваемом направлении теории приближений естественно выделились задачи, связанные с аппроксимацией функций полианалитическимн и полпгармо-ническнми функциями и многочленами, естественно возникающими как в ряде разделов современного анализа, так и в прикладных задачах (например, в задачах плоской теории упругости). Кроме того, появились и были развиты новые глубокие методы исследования соответствующих емкостей (методы теории сингулярных интегралов и геометрической теории меры, метод спектрального синтеза и др.). Здесь необходимо отметить работы
А. Буавс, Д. Всрдеры, С. Гардинера, П. М. Готье, Г. Давида, Д. Кармоны, М. Я. Мазалова, Д. Матеу, П. Маттплы, М. С. Мельникова, Ю.В. Нетрусо-ва, Д. Оробича, П. В. Парамонова, К. Толсы, А. Г. О’Фаррела, В. П. Хавина, Д. Хавпнсона, С. Я. Хавпнсона, Н. А. Широкова и ряда других авторов, включая автора диссертации. Основные результаты, полученные в этом направлении теории приближений, будут сформулированы и обсуждены ниже.
Несмотря на успешное и активное развитие рассматриваемой области теории приближений, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Одной из таких задач является, например, задача описания компактных подмножеств X комплексной плоскости таких, что всякая функция, непрерывная на X и п-апалнтическая (т.е. полпаналпти-ческая порядка п, где п 1 — целое число) во внутренних точках X может быть равномерно на X приближена последовательностью и-аиалитических многочленов. Эта задача (которая интересует специалистов начиная с 1980-х годов) представляет интерес как в свете общего интереса к теории поли-апалитичеекпх функций, в которой за последние годы получен ряд интересных и важных результатов, так и в связи с недавно открывшейся связью этой задачи с другими активно развивающимися направлениями современного анализа, в частности, с теорией модельных пространств. Отметим еще задачи аппроксимации функций решениями (полиномиальными, целыми, мероморфными с локализованными особенностями) общих однородных эллиптических уравнений в равномерной и Ст-нормах, т > 0.
В диссертации получены новые результаты в задачах о равномерной и Ст-прпближаемости функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами при целых значениях т > огс1А — 1, где Ь — соответствующий дифференциальный оператор. Особое внимание уделено равномерной аппроксимации функций полианалитичсскими многочленами. В этой задаче для достаточно широкого класса компактных множеств получены необходимые и достаточные условия (критерии) приближаемоети, исследован характер этих условий.
Изучение задачи о равномерной приближаемое™ функций полиана-литпческимп многочленами привело к возникновению нового интересного направления исследовании в комплексном анализе, связанного с изучением свойств певанлитювеких областей. Свойство области быть нсваплиннов-ской — это специальная аналитическая характеристика плоских односвязных областей, введенная автором и позволившая получить решение соответствующей аппрокепмациониой задачи для компактов Каратсодори. Понятие неванлпнновской области имеет глубокие связи с теорией конформных отображений, с теорией модельных пространств (инвариантных отно-

сительно оператора обратного сдвига подпространств пространства Харди Я2), а также с теорией квадратурных областей. В диссертации получено описание нсванлинновских областей в терминах конформных отображений, установлены новые свойства и построены новые примеры таких областей.
В рассматриваемой проблематике естественно возникает также понятие множества (компакта и области) Каратсодорп. В диссертации получен ряд новых свойств компактов и областей Каратсодорп и их конформных отображений, имеющих важные приложения в теории приближений. В частности, классическая теорема Каратеодори о сходимости к ядру распространена на случай, когда предельная область является областью Каратеодори, а теорема Каратеодори о продолжении распространена с жордановых областей на области Каратсодорп. Эти результаты позволили уточнить ряд классических результатов о структуре мер, ортогональных к пространству рациональных функций с полюсами вне заданного компакта X, и распространить эти результаты на существенно более широкие классы компактных множеств. Последние результаты, в свою очередь, были использованы в диссертации при изучении условий равномерной аппроксимации функций полпаналитпческими многочленами.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, дополнения и списка использованной литературы. Во введении формулируются основные рассматриваемые в диссертации задачи и приводится подробный обзор истории изучения и современного состояния соответствующей области комплексного анализа и теории приближений. После этого во введении дается подробный обзор диссертации по главам и формулируются все основные результаты диссертации. В первой главе диссертации рассматриваются задачи о равномерной и (Х'-приближасмости функций (при натуральных значениях ш) на плоских компактах полиномиальными решениями общих однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами. Во второй главе рассматриваются множества (области и компакты) Каратеодори и устанавливается ряд важных для рассматриваемых задач теории приближений новых свойств таких множеств. В третьей главе изучается задача о равномерной приближасмо-стн функций полпаналитпческими функциями и многочленами. Четвертая глава диссертации посвящена изучению понятия неванлинновской области. В дополнении рассматривается взаимосвязь между задачей о равномерной приближаемости функций полпаналитпческими многочленами и задачей Дирихле для бианалитичеекпх функций. В завершении текста диссертации кратко формулируются основные выводы и полученные результаты.
Нумерация всех утверждений и формул в диссертации двойная (первое число — номер главы, а второе число — номер утверждения или формулы в главе), причем первое число в номере формулы во введении равно

Дальнейшее изучение свойств неванлшшовских областей в четвертой главе диссертации основано на использовании этого метода. В качестве его первого применения в §4.3 доказывается свойство б) неванлшшовских областей, приведенное при обзоре §4.1 выше.
Для построения неванлшшовских областей при помощи метода МП необходимо уметь находить однолистные в круге Ю> функции, принадлежащие пространствам Кв Вопрос о существовании таких функций рассматривается в §4.3.
Хорошо известно, что всякая внутренняя функция 0 может быть представлена в виде О (г) = е1СВ(г)3(г), где с € К, а В и 5 — некоторые произведение Бляшке и сингулярная внутренняя функция соответственно. Так как Кв1&2 = Квх © (01 Ке2) Для любых внутренних функций 01 и 02, то представляется целесообразным рассматривать вопросы о существовании однолистных функций в пространствах К в и Кд по отдельности.
Очевидно, что для любого произведения Бляшке В в пространстве К в существуют однолистные функции (например, функция 1/(1 — апг), где ап — любой из нулей В). В случае же сингулярной внутренней функции 5 вопрос о существовании однолистных функций в Кд является открытым (и весьма нетривиальным).
В §4.3 получен частичный ответ на этот вопрос. Если 5 — сингулярная внутренняя функция, а N е М, то (сингулярная внутренняя) функция б/у определяется равенством
5дг(г) = 3(г)3(имг)3(и%г) (ш-1),
где шдг = ехр(2т/Ы). Теорема 4.11 утверждает, что если <5 — сингулярная внутренняя функция, а д — соответствующая положительная сингулярная мера на Т, то число Дг 6 N такое, что пространство Кди содержит ограниченные однолистные функции существует в том и только том случае, если существует множество Карлссона У С Т такое, что д(У) > 0.
Естественно возникает следующий вопрос: для каких конечных положительных сингулярных мер д на Т, для которых существует множество Карлссона У С Т с условием д(У) > 0, в пространстве К,д есть однолистные функции (т.е. утверждение теоремы 4.11 верно при N = 1)? Как показано в §4.3, однолистные функции всегда существуют в пространстве К8{1ид) для любых ии е Т и > 0, где С}){г)
Отметим, что в литературе рассматривались различные вопросы о существовании в модельных пространствах Кв функций, обладающих определенной регулярностью. Так, в работе [83] изучался вопрос о существовании гладких функций в таких пространствах. Вопрос о существовании в модельных пространствах однолистных функций впервые возник в работах автора в связи с рассматриваемыми задачами.