Достаточные условия разрешимости задач оптимизации, обобщающих некоторые задачи построения оптимальной области

• Автор: Замураев, Виталий Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Общая характеристика работы

Г л а в а 1. Задачи оптимизации с линейными уравнениями состояний

1.1. Достаточные условия разрешимости задач оптимизации с линейными функциональными уравнениями состояний
1.1.1. Задача оптимизации с линейными функциональными уравнениями состояний общего вида
1.1.2. Задача оптимизации с линейными функциональными уравнениями состояний в подпространствах фиксированного пространства

1.2. Разрешимость задач оптимизации с линейными операторными уравнениями состояний

1.2.1. Достаточные условия разрешимости задачи оптимизации с линейными операторными уравнениями состояний с Вс-симметричными, Вс-положительно определенными операторами
1.2.2. Существование оптимальной области для локальной краевой задачи для волнового уравнения
Г л а в а 2. Задачи оптимизации с линейными вариационными неравенствами и нелинейными уравнениями состояний
2.1. Достаточные условия разрешимости задач оптимизации с
линейными вариационными неравенствами состояний
2.1.1. Задача оптимизации с линейными вариационными неравенствами состояний
2.1.2. Задача оптимизации с линейными вариационными неравенствами состояний с Вс-симметричными, Вс-положительно определенными операторами
2.2. Достаточные условия разрешимости задач оптимизации с нелинейными уравнениями состояний
2.2.1. Задача оптимизации с нелинейными функциональными уравнениями состояний
2.2.2. Задача оптимизации с нелинейными операторными уравнениями состояний с непотенциальными операторами
Выводы
Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ
Задачи построения оптимальной области - относительно новое1 и довольно интенсивно и успешно развиваемое направление современной теории оптимизации, представляющее значительный интерес, в первую очередь с точки зрения многочисленных приложений2.
Достаточно широкий класс таких задач3 можно описать следующим образом.
Пусть {й} ad - некоторое множество ограниченных областей в пространстве Rn (множество допустимых областей)4. На множестве (Q}ad рассматривается функционал
j(fi) = j(n,un°),
где функция un° = un°(x), х ей является решением (как правило обобщенным в некотором смысле) краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных5 в области й.
Область Й* е{й} ad считается оптимальной, если
й *) = min j(й).
А 1 ne{Q},dJl
Требуется найти оптимальную область й *.
В большинстве случаев множество {й} , удобно индексировать элементами некоторого функционального множества Cad допустимых управлении :
Рассматриваемая задача оптимизации состоит в нахождении допустимого управления с *, минимизирующего на множестве Cad функционал
1 Целенаправленное и систематическое изучение таких задач осуществляется лишь на протяжении трех последних десятилетий.
2 Укажем в этой связи обзорную работу [36], в которой приводится достаточно обширный список книг и статей, содержащих, в частности, десятки примеров задач прикладного характера, приводящих к некоторым задачам построения оптимальной области.
3 По поводу других классов задач построения оптимальной области см., например, работу[26]; кроме того, рассматриваемые здесь задачи также допускают некоторые очевидные обобщения.
4 Set of admissible domains.
5 Данные краевые задачи при этом часто называют уравнениями состояний (State équations).
6 Set of admissible Controls.

ХПс)э1(Дс,и0>°)
{оптимального управления).
Вопрос о разрешимости различных задач описанного класса хорошо изучен в случае, когда ип° - обобщенное решение некоторой линейной краевой задачи
' Апип = ^ (1)
с симметричным, положительно определенным оператором Аа, АП:П(АП)—>• Нп, 0(Ап) = Нп, здесь Нп - некоторое гильбертово функциональное пространство; скалярное произведение в Нп обозначим через

В этом случае уравнение (1) допускает естественную вариационную формулировку: пространство Рп определяется как пополнение 0(АП) в
некоторой гильбертовой ’ норме, эквивалентной норме (Апу,у)н 1/2 “энергетического” пространства оператора Ап; обобщенное решение уравнения (1) понимается как решение вариационного функционального уравнения

|ап(ип.'') = (Ь.'')н„ 1» еНп,
где ап(и,у) - расширение по непрерывности формы (Апи,у)н на все пространство Рп.
Вариационная формулировка вида (2) уравнения (1) играет при этом довольно существенную роль в доказательстве существования решений рассматриваемых задач оптимизации.
Приведем несколько конкретных примеров задач построения оптимальной области, разрешимость которых установлена в указываемых работах7.
Пример 1 [20]. Пусть
£2С ={(х,у) е112| 0(х<с(у), 0<у<1},
7 Приводимых условий достаточно для разрешимости соответствующих задач. Из работ, в которых рассматривались различные вопросы, связанные с разрешимостью некоторых задач построения оптимальной области, отметим еще, кроме указанных ниже, работы [8], [19], [28], [29], [30], [33].

к«.Ьтк-'1+к*КМ-ТсН]в +
ф,.(я.*ЛМ)-У1ЦЛ;(у))|. (1.63)
Непрерывность функционала 1с(у) на Са(1 хр следует из соотношений (1.63) и
из выполнения условий 1) Ь), 2) а) леммы. □
1.1.2.4. Поскольку по предположению билинейная форма ас(и,у) непрерывна на Б, в пространстве Б однозначно определен линейный непрерывный оператор Ас такой, что
ас(и>у) = [Аси>у] нар;
аналогично сужению ас(и,у) формы ас(и,у) на подпространство Рс соответствует определяемый соотношением
ас(и,у)^[Аси,у] на Рс
линейный непрерывный оператор Ас, действующий в пространстве и имеющий, в силу коэрцитивности формы ас(и,у) на Рс, ограниченный обратный оператор Ас-1.
Пусть ис * - решение уравнения
[[ис,у] = 1с(у)УуеРс; ис° - решение уравнения (бс1. 1.2). Тогда, очевидно
ис* = Асис°, (1.64)
йс°=Ас~ис*- (1.64)
Рассмотрим элемент и с *, являющийся решением уравнения
[ис еН
[[и С 5 у] = 1с (у) ^У 6 Р
(1.1.2)
и пусть Рс - проектор пространства Р на подпространство Рс. Учитывая одно из определяющих Рс свойств