О непрерывных, двоичных мультивсплесковых преобразованиях и мультивсплесках Алперта

• Автор: Северов, Павел Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Введение

Актуальность темы.

Теория всплесков - интенсивно развивающееся направление, которое возникло в 80-х и лежит на стыке теоретической математики, прикладной математики и информатики. У истоков этой теории стоят Grossmann
A., Morlet J., Meyer Y., Daubechies I., Chui C., Mallat S. и т.д.. В России данной тематикой занимаются Новиков И.Я., Осколков К.И., Петухов А.П., Протасов В.Ю., Скопина М.А., Фарков Ю.А. Существуют несколько сотен тысяч англоязычных публикаций по теории всплесков. Среди этих работ большинство носит прикладной характер, Количество русскоязычных статей слишком мало. В то же время существует ряд переводных монографий [47, 48, 53, 62, 63]. Первой монографией, написанной российскими авторами, является [54]. Имеются также работы обзорного характера: статьи [43, 44, 49, 55] и работы предназначенные для специалистов в области прикладной математики и обработки функций, сигналов и изображений. Например в книгах [50, 61] уделено внимание применению всплесков в системах компьютерной математики (Matlab, Mathcad, Mathematica).
В рамках развития теории всплесков в 90-х годах зародилась теория мультивсплесков. Для классического (скалярного) случая используется одна функция ф, которая порождает ортонормированный базис пространства Ь2(Ж) своими сжатиями и сдвигами {22ф(2и> — к) : j,k € Z}. Для мультислучая ортонормированный базис пространства Г2 (К) образуют функции {2?12фффХ>ш — к) : 0 < г < г — 1, j, к € Z), получа-
ВВЕДЕНИЕ

ющиеся сжатиями и сдвигами конечного набора функций где

г называют размерностью мультивсплеска. Когда размерность мудьти-всплеска равна единице, мультивсплеск становится обычным всплеском, имеющим одну масштабирующую функцию и одну всплеск функцию. Мультивслеск имеет две или более масштабирующих функции и всплеск функций. Мультивсплески являются естественным обобщением скалярного случая. Однако, если для скалярного случая построение всплеска для соответствующей масштабирующей функции осуществляется с точностью до фазового множителя, то для мультислучая задача построения мультивсплеска по соответствующей мультимасштабирующей функции, задача не тривиальная, более того и неоднозначная. Общие рекомендации по построению мультивсплесков можно найти в [26]. Изучение мультивсплесков было инициирование Goodman, Lee и Tang. Затем Goodman и Lee исследовали характеризацию масштабирующих функций всплесков. Ими было введено понятие кратномасштабного анализа размерности г [19]. Jia сконструировал класс непрерывных ортогональных мультивсплесков размерности 2, имеющих симметрию, короткий носитель и ортогональность. Специальный случай мультивсплесков размерности 2 и носителем (0, 2) был изучен Chui и Lian. Большой вклад в развитие мультивсплесков сделали Alpert В., Geronimo J., Hardin D., Keinert F., Massopust P., Plonka G., Strela V. Одно из преимуществ мультивсплесков состоит в возможности построения порождающих функций, которые обладают более хорошими свойствами, а именно мультивсплески могут комбинировать в себе ортогональность, симметрию, высокий порядок аппроксимации, большое количество нулевых моментов, в то время как для скалярного случая это невозможно. Эти свойства желательны в приложениях, поэтому мультивсплески используются для решения многих прикладных задач [21, 23, 30].
Несмотря на активное развитие теории мультивсилесков, в России работ по данной тематике нет, за исключением нескольких источников в
ВВЕДЕНИЕ

которых дана справочная информация, либо основные положения. Например в [46, глава 8] даны основы данной теории с позиции обработки сигналов. Несмотря на наличие большого числа зарубежных публикаций, в данной теории не рассматривались непрерывное и двоичное муль-тивсплесковые преобразования. Актуальным является определение и исследование непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований. Также представляет интерес с точки зрения анализа особенностей функций построение быстрого алгоритма двоичного мультивсплескового преобразования. Для мультислучая появляется возможность построения из кусочно-полиномиальных функций мультивсплесков с компактным носителем, что для скалярного случая невыполнимо. Примерами таких мультивсплесков являются, мультивсплески, которые рассмартивались Алпертом и рядом других авторов [1, 2, 3, 7]. Мультивсплески Алпер-та являются обобщением всплеска Хаара [33, 51] заменой единственной масштабирующей функции г масштабирующими функциями. Каждая из этих функций получается из соответствующих полиномов Лежандра, путем их перенормировки, масштабирования и сдвига. Соответствующие мультивсплески Алперта строятся путем применения несколько раз процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта. Данный способ построения характерен только для конструкции Алперта и может быть найден в работах [1, 3]. Представляет интерес исследование временной локализо-ванности этих мультивсплесков, а также их аппроксимационных характеристик.
Цели работы.
• определить непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования. Исследовать представления функций при помощи этих преобразований. Построить «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования;
• найти радиусы мультимасштабирующих функций и мультивсплес-
ГЛАВА I: §5. КОНСТРУКЦИЯ АЛПЕРТА

[О, |], а функции /293(0)(2£ — 1),
Умножая обе части (1.5.2) на 72<р/2£) и интегрируя, получим
72 ( I к У=о
+ 2 / (X) hiflPj(2t - 1) ) ч>№)&.
® 7=0 )
Учитывая ортогональность и область определения функций <#,;(£)> последнее равенство можно упростить

72 / (р/Ь)(р(21)сИ = 2 / л8Ц(2*)-(2*)*

J 4%{х)аЬ

hij} [ 4>){x)dx = hf).

Предпоследнее равенство получилось заменой переменных в определенном интеграле.
Окончательно имеем

= 72 J <рг(Ь)(р2Ь)<и. (1.5.3)

Для вычисления интеграла в правой части равенства (1.5.3), применим метод квадратур Гаусса-Лежандра.
Для интервала [—1, 1] и весовой функции ш(х) = 1 имеем

/ /(х)(1х = 2ют/{хт), (1.5.4)

где весовая функция шт =
гРг~/хт)р;.(хт)
полином Лежандра.