Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношений

• Автор: Марюшенков, Станислав Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 88 с. : ил.

Оглавление
Список обозначений Введение
1 Устойчивость и обратимости дифференциальных операторов
§1.1 Некоторые сведения из спектральной теории дифференциальных операторов
§1.2 Условия устойчивости и обратимости дифференциального оператора
2 Оценки нормы оператора, обратного к дифференциальному в функциональных пространствах на полуоси
§2.1 Оценка нормы обратного к оператору —— + A(t) в проси
странстве Loo через норму в пространстве L%
§2.2 Оценка нормы обратного к оператору Св в пространстве Ьр через норму в пространстве Lq
3 Оценки нормы оператора, обратного дифференциальному в функциональных пространствах на R
§3.1 Условия обратимости оператора L = А — В, где А- антисимметричный, а В- нормальный оператор
§3.2 Приложения к оценкам норм операторов, обратных дифференциальному
Литература

Список обозначений
Ж - множество всех действительных чисел;
М+ - множество действительных чисел [0, оо);
С - множество комплексных чисел;
Т = {Л Є С : |Л| = 1} - множество точек, расположенных на единичной окружности;
Т(г) = {А Є С : |А| = г} - окружность с центром в 0 с радиусом г;
X - комплексное банахово пространство;
Я - гильбертово пространство;
EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;
р(А) - резольвентное множество линейного оператора А а(А) - спектр линейного оператора А;
Я(А, А) - резольвента линейного оператора А
J Є {Ж, Е+};
Lp = Lp(JJ, X), р Є [1, оо) - банахово пространство измеримых по Бохне-ру суммируемых со степенью р функций, определенных на J со значениями в банаховом пространстве X, с нормой ||ж||р = (Jj ||a:(t)||pd<)1'p;
L0о = LooiS, X) - банахово пространство измеримых по Бохнеру существенно ограниченных функций, определенных на! со значениями в банаховом пространстве X, с нормой ||х||оо = vrai supf6R+ ||ж(£)||;
Сь = Сь{3, X) - подпространство непрерывных функций из Loo(J,X);
Т = Я(!, X) - одно из пространств Lp(J, X), р Є [1, оо], Сь{3, X);

¥р (1, Н) - пространство Соболева абсолютно непрерывных функций из Ьр(3, Н), производные которых лежат в ЬРЦ, Н);
Z - множество целых чисел;
Ъ+ - множество положительных целых чисел;
6 {Ъ, 2+};
^р(Хг)^)> Р £ [1)0°] ~~ банахово пространство последовательностей г : Л 4 I с нормой ||ж||р = (53 \х{п)\р)1/р ПРИ Р < оо и ЦжЦоо =

8ирпе1, ||ж(гг)||.

Условие 1.4. Пусть 7 = sup Re(А) < 0.
ЛЄ.7 (A(t))
Замечание 1.1. Для любого оператора А Є EndCu справедлива оценка Гелъфанда -Шилова:
ем<е^±(2і\А\)к, t>0,

где б, = max{Re : Л є &(А)}.
Теорема 1.12. Пусть выполнено условие 1.4 и следующие неравенства: ||Д(<) - A(s)|| <0 (1.12)
00 п-
[ е7“£ ^(2и\ Alloc)*(p(u)du < 1. (1.13)

Тогда оператор Се обратим.
Доказательство. Рассмотрим операторы В[, Вг : Ьр —>■ Ьр) имеющие

(■Btx)(t) = j Gm(t - s)x(s)ds, о

(Brx){t) = J GA{s)(t - s)x(s)d.
x Є Lp}
is, x G Lj)-Пусть x Є D{Се)- Рассмотрим

(.BiCE)(t) = J Gm(t - s)(~ - A(s)x(s))ds = J Gm(t - s)(^~ 0

-A(t)x(s))ds + J GA(t)(t - s)(A(t)x(s) - A(s)x(s))ds = x{t)+

+ J GA{t)(t - s)(A(t) - A(s))x(s)ds;