Параметрические возмущения и проблема управления хаотическими динамическими системами

• Автор: Рыбалко, Сергей Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Содержание
1 Введение
2 Элементы теории хаотических динамических систем
2.1 Развитие хаоса в сосредоточенных системах
2.1.1 Переход к хаосу через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода
2.1.2 Переход к хаотическому поведению через перемежаемость
2.1.3 Переход к хаосу через разрушение инвариантного тора
2.1.4 Основные характеристики хаотического поведения
2.2 Методы стабилизации хаотической динамики
2.3 Элементы теории распределенных динамических систем
3 Динамика т-мерных отображений с мультипликативным и аддитивным возмущением 14,231]
3.1 Общая теория
3.2 Семейство квадратичных отображений
3.3 Семейство кусочно-линейных отображений
3.4 Двумерные отображения
3.4.1 Отображение Белых
3.4.2 Диффузионно связанные отображения [231|
4 Динамика распределённых систем в приближении дискретизации по пространству [233]
4.1 Поведение сцепленных кусочно-линейных отображений при различных
видах неоднородностей
4.1.1 Однородная цепочка
4.1.2 Пространственно неоднородные цепочки

4.2 Глобальная синхронизация в цепочке параметрически связанных квадратичных отображений
5 Стабилизация неустойчивого поведения динамических систем и проблема обработки информации [123,232j
5.1 Методы записи, распознавания и передачи информации посредством динамических систем
5.1.1 Кодирование посредством нехаотических динамических систем
5.1.2 Кодирование посредством динамических систем с хаотическим поведением
5.1.3 Кодирование на основе синхронизации хаотических систем
5.2 Кодирование и передача информации при помощи стабилизированных
циклов возмущенных отображений
5.2.1 Численные исследования метода кодирования
Заключение
6 Литература

Глава
Введение
На данном этапе развития науки стало очевидно, что нелинейные явления и связанные с ними понятия хаотического поведения — скорее правило, чем исключение. После решения многих проблем при помощи теории возмущений, в начале XX века появилось огромное количество нелинейных задач, решение которых наталкивалось на непреодолимые трудности. Если прежде эти задачи были связаны лишь с традиционной нелинейной механикой (задача трёх тел, описание волн на поверхности жидкости и т.п.), то в 10 Л0-е годы нелинейные задачи превратились в первоочередные в таких областях как акустика, физика твёрдого тела, статистическая физика и др. Принципиально нелинейные задачи возникли в зарождающейся радиотехнике (детектирование и генерация колебаний), а также в других прикладных отраслях.
Исследования последних лет показали (отчасти благодаря исследованиям нелинейных систем с применением компьютеров), что чувствительность к начальным условиям,, приводящая к хаотическому поведению во времени, никоим образом не исключение; напротив, это типичное свойство многих систем. Такое поведение, например, обнаружено в периодически стимулируемых клетках сердца, в электронных цепях, при возникновении турбулентности в жидкостях и газах, в химических реакциях, в лазерах и т. п. С точки зрения систематики почти во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше двух (особенно во многих биологических, метеорологических и экологических моделях) можно обнаружить хаос. Следовательно, на достаточно больших временах их поведение непредсказуемо. Другими словами, обнаружилось, что явление хаотичности в той или иной системе не связано с действием каких-либо априори случайных сил, а кроется в свойстве приобретать при определённых значениях параметров экспоненциально сильную не-устойчивость траскторий.

марковским разбиением, а(а;,) — гладкая функция на [0,1] такая, что
а(0) = а(1) = 0 (2.20)
и зависимость д, от убывает экспоненциально при |г — к —> оо.
Данный механизм все еще является объектом интенсивного математического исследования. Например, в работах |l76,177j уже были рассмотрены различные классы слабых взаимодействий гиперболических отображений (в одномерных решетках).
Существование и единственность инвариантной меры, которая производит пространственно-временной хаос при слабых взаимодействиях, означает, что в соответствующих системах статистической механики нет фазовых переходов при слабых пространственных взаимодействиях (малое е). Эта идея была впервые сформулирована и обсуждена в работе [l75j, где предложено определить строго когерентные структуры для распределенных систем (и, в частности, для решеток) как новые фазы, которые возникают, когда растет параметр порядка е.
Эта идея была упомянута позднее во всех работах, в которых доказывалось существование пространственно-временного хаоса при слабых взаимодействиях хаотических систем. Однако класс решеточных динамических систем, для которых возможно математическое изучение таких фазовых переходов, был введен только в работе [l75j. Суть в том, что представление (2.19) как решеточной системы спинов статистической механики верно для целой области пространственных взаимодействий (О < е < |(1 — 1/т?’п|/'(т)|)j. Наоборот, чтобы построить такое представление, авторы работ ]l7G, 180] использовали связь с невозмущенной системой (решетка без пространственного взаимодействия). Но когда пространственное взаимодействие появляется, эта связь исчезает, и уже нельзя говорить о соответствующей модели статистической механики.
Недавно наличие фазовых переходов в классе решеток типа (2.19) с <д{Рх) = /(.Cj_i) — 2f(xi) + /(:c;+i) и f(x) = ах( 1 — х) было доказано в ]l81,182]. Остановимся на этих результатах более детально.
Известно, что для малых е такие цепочки отображений хаотичны [l70,183]. Назовем решение (орбиту) решетки динамических систем {т., п)-структурой, если она имеет период 7п но пространству и период п по времени. При численных исследованиях было обнаружено (см., например, [16б]), что для различных нелинейностей / и диффузионном взаимодействии с ближайшими соседями существуют (2, 2)- решения.