Квантование нелагранжевых теорий

• Автор: Куприянов, Владислав Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 102 с.

1 Обратная вариационная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1 Введение

1.2 Функционал действия для систем уравнений второго порядка

1.3 Примеры

1.4 Вариационный принцип в формализме первого порядка

1.5 Заключение

2 Принцип действия для системы Лоренца-Дирака

2.1 Введение

2.2 Обратная вариационная задача для классического уравнения ЛоренцаДирака

2.3 Пертурбативное понижение порядка в уравнении Лоренца-Дирака

2.4 Принцип действия для редуцированного уравнения Лоренца-Дирака

2.4.1 Формализм второго порядка
2.4.2 Формализм первого порядка
2.5 Заключение
3 Каноническое квантование нелаграижевых теорий
3.1 Введение
3.2 Гамильтонова формулировка
3.3 Каноническое квантование
3.4 Квантование линейных динамических систем
3.5 Примеры
3.5.1 Квантование гармонического осциллятора с трением
3.5.2 Квантование излучающего точечного заряда
3.6 Заключение
4 Деформационное квантование линейных динамических систем
4.1 Введение
4.2 Псевдо-гамильтонова формулировка линейных динамических систем
4.3 Деформационное квантование
4.4 Примеры
4.4.1 Линейный осциллятор с трением
4.4.2 Заряженная частица в однородном магнитном поле, с учетом
реакции излучения
4.5 Заключение

5 Заключение
6 Аппендикс - интегрирующий множитель

Существует широкий класс интересных физические систем, классические уравнения движения которых не допускают вариационной формулировки. В числе примеров можно упомянуть самодуальные поля Янга-Миллса, уравнения безмассовых полей высших спинов, теорию кираль-ных бозонов, максвелловскую электродинамику с монополями, а также различные диссипативные системы. Назовём все такие системы нелагран-жевыми. Хотя задание уравнений движения полностью определяет динамику классической системы, традиционный переход к квантовомеханическому описанию опирается на существование функционала действия, из которого данные уравнения движения получаются варьированием. Именно этим определяется важность вариационной формулировки для физических систем.
Задача построения функционала действия для заданной системы дифференциальных уравнений, в литературе известная как обратная вариационная задача Ньютоновской механики, представляет определенный интерес в физике на протяжении уже более ста лет. Ещё в 1887 году Гельмгольц [1] сформулировал известный критерий лагранжевости систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратная вариационная задача для одномерного движения была полностью решена Дарбу [2]. Случай двух степеней свободы был рассмотрен Дугласом [3] в 1941, в частности, он представил примеры систем уравнений второго порядка, которые не могут быть получены из вариационного принципа. После этого многие авторы (см. [4]-[19] и ссылки там) исследовали проблему построения вариационного принципа для многомерных систем.
В 1974 году Хавас [20] предложил рассматривать обратную вариационную задачу в формализме первого порядка, для этого, ввведением вспомогательных переменных, необходимо перейти от исходных уравнений движения к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. В работах [20]-[22] было доказано, что действие в фор-

разумные условия, чтобы функционал действия этой модели обладал "хорошими"свойствами. Таким условием, в случае линейной динамической системы, может являться требование квадратичности функционала действия, поскольку такой вид действия является наиболее простым для анализа и последующего квантования. Более того, как будет показано в следующих разделах, в этом случае эволюция квантовых средних в рассматриваемой системе полностью определяется соответствующей классической эволюцией.