Интегрируемые структуры в теории струн и суперсимметричных теориях поля

• Автор: Гуков, Сергей Геннадиевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 83 с.

Оглавление
1 Введение
2 4с1 калибровочные теории и XXX спиновые цепочки
2.1 Простой пример: теория Янга-Миллса
2.2 БЬ(2) спиновые цепочки и их вырождения
2.3 Произведение калибровочных групп
2.4 Ультрафиолетово-конечные теории
2.5 Возврат к чистой калибровочной теории
3 Пятимерные теории и XXX спиновые цепочки
3.1 Спектральные кривые из струнных моделей
3.2 Твистованые XXX спиновые цепочки
3.3 Вырождение в релятивистскую цепочку Тоды
3..4 ЗЬ(р) спиновая цепочка
4 ХУX спиновые цепочки и теории в шести измерениях
5 Калибровочные теории и решение Зайберга-Виттена
5.1 Пертурбативный препотенциал
5.2 Точные -функции
6 Эллиптические модели
6.1 Суперсимметричные вакуумы
6.2 Вырождение в цепочку Тоды и два представления оператора Лакса
6.3 Новые теории - новые решения
6.4 ’’Теории поля” не имеющие Лагранжевой формулировки
7 Заключение

1 Введение
Теория струн появилась в конце 60-х годов как попытка объяснения сильного взаимодействия кварков в нуклоне [1]. Пока не увенчавшись успехом в своей первоначальной цели, эта идея привела к созданию самостоятельной области теоретической и математической физики. Сейчас теория струн имеет приложения от черных дыр в общей теории относительности до Великого Объединения [2]. Действительно, все ранние попытки объединения взаимодействий в одну теорию нашли наилучшую реализацию в теории струн. Естественным образом включая в себя гравитацию, она является согласованной квантовой теорией. С другой стороны, при низких энергиях динамика струн сводится к действию Янга-Миллса, которое является необходимой составляющей при построении реалистичных моделей взаимодействия.
Многочисленные факты в Стандартной Модели указывают на то, что при высоких энергиях теория элементарных частиц обладает суперсимметрией. Следовательно, если реальные взаимодействия передаются струнами, то они также должны быть суперсимметричными. В отличии от обилия суперсимметричных теорий поля, известно только пять ’’различных” теорий суперструн, согласованное квантование которых возможно лишь в критической размерности 10. Мы будем обсуждать только теории струн с двумя 16-компонентными суперзарядами одинаковой (в теории ПВ) или разной (в теории ПА) киральности. Как мы теперь видим, задача построения реалистичных моделей состоит из двух частей: (а) получить четырехмерную теорию из 10 измерений и (б) нарушить суперсимметрию. Оба пункта решаются с помощью механизма компактификации дополнительных 6 измерений, предложенного Калуцей и Кляйном еще задолго до изобретения суперсимметрии. Существует множество компактификаций, которые дают сколь угодно близкое описание четырехмерного мира. Но, так как большинство интересующих нас вопросов (как, например, невылетание кварков) относится к режиму сильной связи, мы сталкиваемся с другой проблемой: чем больше нарушена суперсимметрия, тем меньше ограничений на динамику теории. По этой причине долгое время была известна только непертурбативная динамика (которая, к сожалению, тривиальна) калибровочных теорий с 16 суперзарядами.
Ситуация существенно изменилась около пяти лет назад, во время так называемой Второй Струнной Революции, когда было сделано много важных открытий в теории суперструн. Ключевую роль играют дуальности (для введения см. [3]). Например, пять ’’различных” теорий суперструн, о которых шла речь в предыдущем параграфе, на самом деле описывают просто разные точки на пространстве моду-

лей некоторой общей (М-)теории, так что из одной точки можно попасть в другую непрерывно меняя параметры. Более того, в некоторых случаях начальная и конечная теории физически эквивалентны, т.е. дуальны. Предполагая существование дуальности на основании косвенных аргументов, часто удается ответить на вопросы вне теории возмущений с помощью эквивалентного описания в более ’’удобной” области пространства модулей. Аналогией из статистической физики может служить дуальность Крамерса-Ванье, согласно которой теория на дуальной решетке определена при обратной температуре Г -Н- [4]. Предположив существование лишь одной особой точки, можно угадать точку фазового перехода Т = 1, где теория самодуальна.
Именно дуальность сильной-слабой связи в Л/- = 2 калибровочных теориях легла в основу знаменитой работы Э.Виттена и Н.Зайберга [5]. В теориях с 8 действительными суперзарядами суперсимметрия еще не столь велика, чтобы динамика была полностью тривиальной, но, с другой стороны, достаточна для точного описания вакуума в теории. Например, калибровочные константы связи перенормируются только в одной петле. С помощью этого факта, а так же дуальности и симметрии теории, Виттену и Зайбергу удалось точно описать пространство модулей (и ВРЭ состояний) в кулоновской фазе теории, где калибровочная группа спонтанно нарушена до максимальной абелевой подгруппы. Если ранг калибровочной группы равен г, то скалярные суперпартнеры фотонов параметризуют Кэлерово пространство модулей М комплексной размерности г —1. Основной результат [5, 6] состоит в том, что М совпадает с пространством модулей алгебраических кривых рода (г — 1) — спектральных кривых некоторой классической интегрируемой системы, как было найдено позднее в работах [7, 8]. Далее исследования развивались в двух направлениях:
• поиск интегрируемых структур в теориях с 8 суперзарядами [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15], обобщая результат Зайберга-Виттена;
• использование интегрируемости для вычисления ыепертурбативных эффектов в калибровочных теориях, см. например [16, 17, 18, 19].
Основная часть диссертации посвящена первому направлению, точнее систематическому подходу к поиску интегрируемых структур с помощью теории струн. В 1996 году в работах [20] и [21] были предложены два разных подхода к построению (и решению) ЛГ = 2 А<1 калибровочных теории из теории суперструн типа НА. Оба метода позволяют достаточно легко получить уравнение спектральной кривой: в первом случае - с помощью одиннадцатимерной М-теории, во втором

вление материи в фундаментальном представлении получается добавлением еще одной полубесконечной браны. Заметим, что это можно сделать 4 разными способами, помещая полубесконечную брану между 4 разными парами уже присутствующих полубесконечных пятибран. Эти четыре возможности соответствуют различным разбиваниям четырех внешних связей Д на Рис.7(6), Новая полу бесконечная пятибрана также делит уже присутствующую внутреннюю пятибрану на две части, так что полное число конечных и полубесконечных бран увеличивается на 1, в согласии с геометрическим подходом.
Неоднозначность добавления материи в присоединенном представлении является общей чертой пятимерных теорий и связана с неоднозначностью выбора базы расслоения X [14]. В более ранних статьях [21, 27, 73] было замечено, что 311(п) калибровочные теории могут быть получены компактификацией на X, базой которого является поверхность Хирцебруха Д0 или Р2. В пяти измерениях эти две возможности приводят к разным теориям, которые переходят в одну и ту же четырехмерную теорию при компактификации еще одного измерения. Таким образом, пятимерные модели явно зависят от выбора расслоения Калаби-Яу. Как будет объяснено далее, все эти неоднозначности связаны с разными способами вырождения исходной системы. Во всех случаях, исходная система оказывается наиболее общей интегрируемой системой в данном классе симметрий, именно — твистованой XXX цепочкой.
Такая простая дуальность между конфигурациями пятибран и торической геометрией Калаби-Яу является мощным инструментом в решении пятимерных теорий с калибровочной группой вида Ниже мы продемонстрируем общие
методы на примере одной калибровочной группы. По заданному спектру эффективной теории легко построить соответствующую конфигурацию пятибран, как на Рис.7(а). Дуальный граф (см. Рис.7(6)) дает многогранник торического многообразия Калаби-Яу, после чего преобразование локальной зеркальной симметрии приводит к уравнению спектральной кривой интегрируемой системы (2.17).
Эффективное действие Би(2) теории Янга-Миллса описывается конфигурацией пятибран на Рис.7(а). Показанная конфигурация дуальна расслоению X с поверхностью Хирцебруха в качестве базы и приводит к спектральной кривой релятивистской цепочки Тоды. Для того чтобы это увидеть, запишем вектора из,