Интегрируемость и стохастичность в консервативных динамических системах

• Автор: Симаков, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 82 с. : ил.

Оглавление
1. Интегрируемые задачи вихревой динамики
1.1. Движение двух точечных вихрей внутри цилиндрической области
1.1.1. Алгебраическая классификация
1.1.2. Бифуркационный анализ
1.1.3. Симплектические координаты
1.1.4. Бифуркационные диаграммы задачи
1.1.5. Возможность динамического коллапса
2. Неинтегрируемые задачи вихревой динамики
2.1. Движение двух точечных вихрей вне цругоаой области во внешнем стационарном течении
2.1.1. Общие уравнения движения. >
2.1.2. Движение двух точечных вихрей в набегающем с постоянной скоростью потоке
2.1.3. Стационарные конфигурации
2.2. Неинтегрируемость задачи о движении трех точечных вихрей в цилиндрической области
2.3. Стационарные конфигурации в задаче о движении трех вихрей внутри цилиндрической области
3. Неинтегрируемость и сценарии развития стохастичности в динамике твердого тела с одной неподвижной точкой
3.1. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела
3.1.1. Состояние проблемы хаотизации периодических процессов
в динамических системах через последовательность бифуркаций кратного увеличения периода
3.1.2. Методика построения последовательности бифуркаций удво-
ения периода периодических решений уравнения Эйлера-Пуассона
3.1.3. Результаты численных экспериментов
3.2. Численное доказательство неинтегрируе.мости уравнений Эйлера-
Пуассона
3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Построение сепаратрис отображения Пуанкаре
3.2.3. Результаты численного эксперимента

Список литературы.

Введение.
Диссертационная работа посвящена исследованию динамических эффектов, наблюдающихся в консервативных динамических системах из различных разделов математической физики. Их исследование имеет значение, как для теории так и для приложений.
Первые две главы диссертации посвящены исследованию задач вихревой динамики. Теория вихревого движения имеет давнюю историю. На ее основе Декарт пытался объяснить движение планет, построить модель Вселенной [2]. Математическое описание процессов, связанных с движением завихренности в жидкости было предложено в 1858 г. Г. Гельмгольцем [44]. Первые исследования были в основном направлены на создание объясняющей инерцию и гравитацию ’’вихревой теории материи” (эфиродинамика, атом Кельвина и т.д.). В настоящее время интерес к вихревой динамике связан с изучением природных процессов в атмосфере и в океане, с исследованием процессов отрыва потока, сопротивления движению тел в жидкости и т.д. Задачи изучения движения точечных вихрей, в областях с твердыми неподвижными границами, возникли на раннем этапе исследования вихревых структур. Простейший случай движения одного точечного вихря в идеальной жидкости, ограниченной одной плоскостью, рассмотрен Г. Гельмгольцем [47]. При этом используется метод зеркальных отображений, в котором влияние границы заменяется взаимодействием с вихрем противоположной по знаку интенсивности, зеркально симметрично расположенным к исходному, что позволяет обеспечить выполнение граничных условий. Такой способ инверсии широко используется при решении задач гидродинамики.
Общая теория движения вихрей в произвольной области была заложена в работах Э. Рауса [45] и детально разработана Ц. Ц. Линем [46]. Согласно этой теории, движение N точечных вихрей с интенсивностями кг..кн в односвязанной области описывается гамильтоновой системой с N степенями свободы, в которой роль сопряженных переменных выполняют декартовые координаты особенностей.
1 дН . 1 дН
, г/, =, г = 1.. (0.1)
кг ду{ кг дхх
Интегрируемость этих систем зависит от числа вихрей и от вида области, в которой происходит движение.
На плоскости движение вихрей интегрируемо, если число вихрей не превышает трех. Задача о движении двух точечных вихрей на плоскости была полностью изучена Г. Гельмгольцем [34], который установил, что в общем случае два вихря совершают равномерное вращательное движение вокруг центра

(2.54) относительная динамика сводится к движению ’’изображающей" точки по поверхности двухполостного гиперболоида.
Наиболее просто стационарные вихревые конфигурации находятся в случае равных интенсивностей (2.50) (вдальнейшем примем кі = 1). Томсоновской конфигурации соответствует вращение вихрей с постоянной угловой скоростью на равном удалении вихрей от центра. Угловая частота вращения в зависимости от квадрата расстояния до центра имеет вид:
О 'г»3 і і
П = 2- -5
(1 + г2 + г) г (—1 + г)
Вихри образуют равносторонний треугольник, содержащий центр области. Отличительной особенностью движения вихрей внутри цилиндрической области от движения на плоскости является зависимость устойчивости вращения от удаления от центра. Характеристическое уравнение, определяющее собственные числа линеаризованной системы (2.49) в окрестности особой точки
имеет вид:
Р2 = о, Рз = о, д2 = 27Г/3, д3 = —2тг/3
Р(х) = Xі + ахх2 + 02,
. (Юг8+28г7+19г6+28г5+4бг4+28г3+7г2-2г-2)
= “4 ‘

( — 1 +9 г2 +5 г3+9 г5 +5 г'6 )
г4(1+г2+г)

где г = р1/3 квадрат расстояния до центра.
Как известно [53], для устойчивости особой точки необходимо, чтобы корни ее характеристического уравнения были чисто мнимы. Пусть выполнено условие
ох >0, а- 4а2 > 0, (2-57)
тогда уравнение (2.56) будет иметь четыре чисто мнимых корня, и невозмущенное движение будет устойчиво в первом приближении. Движение вихрей
устойчиво в интервале р < 1.4457651957.
Коллинерной конфигурации соответствует стационарное вращение, когда один из вихрей находится в центре, а два других расположены в диаметрально противоположных точках. Угловая частота вращения в зависимости от квадрата удаления от центра имеет вид:
о - и/гнг)' (2'58)
Других коллинеарных конфигураций не существует.
Анализа устойчивости движения можно провести путем численного интегрирования уравнений возмущенного движения в первом приближении [53].
V = ПО) = Е, (2.59)