Квантовая групповая редукция XXZ модели Гейзенберга

• Автор: Губанов, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 124 с.

Оглавление

0.1. Введение

0.2. Актуальность проблемы

0.3. Цели и задачи

0.4. Основные результаты

0.5. Научная новизна

0.6. Практическое значение

0.7. Апробация работы

0.8. Публикации

0.9. Содержание

1. Обзор XXZ модели

1.1. Введение
1.2. Эффективный гамильтониан
1.3. Типы граничных условий
1.4. Координатный анзац Бете
1.5. Термодинамический предел
1.6. Спиновые волны
1.7. Квантовые группы Ug(sl(2)) и Ug(sl(2)).
1.8. Слияние трансфер матриц
1.9. Алгебраический анзац Бете
1.10. Связь с моделью Изинга при ç4
1.11. Графическое представление
1.12. Заключение
2. Открытые специальные граничные условия.
2.1. Введение
2.2. Получение перестановочных соотношений
2.3. Оператор ad X
2.4. Доказательство ad X теоремы
2.5. Разложение матрицы монодромии
2.6. Факторизация матрицы монодромии
2.7. Алгебра Замолодчикова
2.8. Заключение
3. Обобщенные замкнутые граничные условия.
3.1. Введение
3.2. Нулевые собственные значения
3.3. Алгебраическая структура
3.4. Спектр гамильтониана
3.5. Заключение

Оглавление
4. Обобщенная модель Гейзенберга
4.1. Введение
4.2. Слияние трансфер матриц
4.3. T-Q уравнение Бакстера
4.4. Обрыв соотношений слияния
4.5. Алгебраические соотношения
4.6. Цепочка частиц спина 1 =
4.7. й-матрицы
4.8. Гамильтонианы с j > 1/
4.9. Заключение
5. Дополнение.
5.1. Введение
5.2. Соотношения слияния трансфер матриц
5.3. TQ уравнение Бакстера
5.4. Обрыв соотношений слияния трансфер матриц
5.5. Заключение
0.1. Введение

0.1. Введение
Квантовая модель цепочки двухуровневых атомов была предложена Гейзенбергом в 1926 году. Цепочка со взаимодействием только между ближайшими соседями представляет собой упрощенную модель одномерного кристалла. Считая взаимодействие слабым, в рамках теории Слеттера, в первом порядке теории возмущений кулоновские и магнитные силы между электронами (зависящие от спина), приводят к расщеплению средних значений энергии для каждой пары соседних атомов с параллельными и антипараллельными спинами, а так же к обмену спиновых состояний для пар электронов локализованных на соседних атомах. Учет усредненных магнитных сил между электронами действующих вдоль некоторого направления анизотропии приводит к анизотропной модели Гейзенберга (модели XXZ). В 1931 году Бете предложил метод (анзац Бете) формально позволяющий находить спектр энергии и собственные векторы гамильтониана. Бете нашел, что собственные векторы и собственные значения гамильтониана представляются в некотором очень специальном виде, выразив все через корни системы трансцендентных уравнений, известных в настоящее время как уравнения Бете. Метод предложенный Бете был последовательно развит и применен к самым разнообразным моделям, включая модели двумерной класиче-ской статистической физики. Позднее, в результате работ Орбаха (1958), Боннера (1968), Сазерлэнда (1970), Бакстера (1972), Тахтаджяна (1977), Склянина (1979), Фогебю (1980) и других ученых, было достигнуто понимание того, что предложенная модель принадлежит к классу точно интегрируемых моделей. Было понято, что одномерная квантовая задача цепочки атомов эквивалентна двумерной задаче статистической физики Шестивершинной модели (Фан, Ву, 1970; Бакстер, 1971). Шестивершииная модель статистической физики описывает двумерный идеализированный кристалл, пары атомов которого связаны водородной связью. Эта связь ионного типа между двумя электроотрицательными атомами осуществляется протоном, который находится ближе к одному атому, чем к другому. Для каждой связи на решетке, таким образом, существует два положения равновесия (Полинг, 1960). Если координационное число каждого узла равно четырем, как в случае атома кислорода в гексагональном кристалле льда, то имеется восемь возможных конфигураций. Однако в физических системах, для описания которых пригодна эта модель, например, для кристалла воды (льда), в окрестности каждого узла имеется не более двух протонов, т. е. в кристалле льда каждый атом кислорода имеет четыре связи с соседними атомами кислорода, расположенными в вершине тетраэдра, что дает шесть конфигураций (Онсагер, Дюпьи, 1960). Для решения двумерных моделей статистической физики, таких как шестивершинная модель был разработан специальный математический аппарат в основе которого лежит уравнение Янга-Бакстера (Либ, 1967; Янг, 1966; Бакстер, 1971). Именно уравнение Янга-Бакстера является ядром механизма, который заставляет работать метод Бете, (Онсагер первым распознал уравнение Янга-Бакстера в Модели Изинга, еще задолго до того как оно приобрело это название). Казалось удивительным, что за такой не сложной моделью стоит такая богатая математическая структура. Каждое решение уравнения Янга-Бакстера дает точно решаемую модель. В 1979-1981 году Фаддеевым, Скляниным и Тахтаджяном был предложен квантовый метод обратной задачи, который развил и систематизировал методы Янга-Бакстера в более алгебраическом виде. Изучение точно решаемых моделей привлекало все больший интерес со стороны ученых всего мира. В 1986 году Дринфельдом было введено понятие Квантовой группы. Под именем "квантовые группы"В. Г. Дринфельд ввел класс алгебр Хопфа, обеспечивающий решение уравнения Янга-Бакстера. Такие математики как Владимир Дринфельд, Воэн Джонс, Эдвард Виттен, Максим Концевич были удостоены Филдсовских медалей в основном за достижения в этой области математики. Такой подход к алгебрам Хопфа был

Глава 1. Обзор XX Z модели
например, действием операторов 1®-Ри.Р®1на старший вектор V — |0, 0). Обозначим один вектор находящийся на этом уровне символом А, другой — В
V, Щ+1,2(іу)
А в, Vj-n2itB)
Возможны два варианта:
1) вариант когда
Z(tv) V = 0; (1.157)
существует инвариантное подпространство во главе с вектором V
V : Wj+1/2(q1/2p)
L В, И^-1/2(д-УУ)
! 1 И
I î N
2) вариант когда
Z{tB)B = 0; (1.158)
существует инвариантное подпространство во главе с вектором В
V : WHl/2(д-У2М)
N В, ^_1/2(дУу)

В первом случае, для нахождения tv и tg пользуемся уравнениями
Z(tv)V = 0, -> V = g^V (1.159)
Z(tB)B - 0 mod Wj+i/2(q1/2p), -> = g_1/V
Во втором случае, для нахождения £у и tB пользуемся уравнениями
Z(tB)B = 0, —> tB — g1^2р (1.160)
Z(tv)V = 0 mod Wj-i/2(q1/2iT), -> = q~l^2p-
причем, во втором случае вектор В тоже как и У является старшим вектором
XtB = 0, Y0B = 0. (1.161)