Качественные методы исследования некоторых задач вихревой динамики

• Автор: Лебедев, Владимир Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 91 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Движение точечных вихрей на плоскости и сфере.
Компактный случай
1.1 Вихревая алгебра на плоскости и сфере
1.2 Классификация алгебры скобок Ли-Пуассона
1.3 Бифуркационный анализ движения вихрей на плоскости
1.4 Симплектические координаты для вихрей на плоскости
1.5 Качественный анализ движения трех вихрей на сфере
1.5.1 Канонические координаты
1.5.2 Бифуркационный анализ движения
2 Движение трех вихрей. Некомпактный случай. Проблемы
коллапса и рассеяния
2.1 Некомпактные движения на плоскости
2.2 Движения трех вихрей на сфере при условии некомпактности
2.3 Условие коллапса вихрей на плоскости и сфере
2.4 Рассеяние вихрей на плоскости
2.5 Случай четырех вихрей с нулевой полной интенсивностью
3 Качественный анализ
совместной динамики вихревого пятна и точечных вихрей
3.1 Вихревые пятна
3.2 Взаимодействие вихревого пятна с точечным вихрем
3.3 Симплектические координаты
3.4 Бифуркационный анализ
3.5 Неинтегрируемость взаимодействия двух точечных вихрей
с вихревым пятном

Заключение
Библиография
Введение
Данная работа посвящена изучению нелинейных динамических систем, описывающих поведение вихревых структур в идеальной жидкости. Уравнения движения изучаемых систем могут быть представлены в гамильтоновой форме со скобкой Пуассона, определяемой некоторой алгеброй Ли (скобка Ли—Пуассона). Такая форма уравнений позволяет наиболее естественно учитывать геометрические и динамические симметрии задачи. Кроме того, она дает наиболее простой и наглядный способ установления аналогий между различными динамическими системами [14].
В первых двух главах диссертации исследуется динамика трех точечных вихрей на плоскости и сфере. Хотя исследование особенностей вихревого движения жидкости началось еще с работы Гельмгольца [18], значительный прогресс в понимании физических явлений, связанных с вихревой динамикой [52, 95, 102, 39], наблюдается лишь в последние десятилетия. Это обусловлено как появлением мощных компьютеров и эффективных численных методов, позволяющих моделировать трехмерные взаимодействия вихрей [81], так и совершенствованием экспериментального оборудования, позволяющего осуществлять более тонкие измерения. Экспериментальное открытие когерентных структур (крупномасштабных вихревых образований в свободных сдвиговых течениях — следах и струях, тонкой зоне течений на поверхностях раздела и в пограничных слоях [73]) заставило в значительной мере переосмыслить возможности классической статистической теории турбулентности и обратиться к детерминированным моделям переноса завихренности и энергии. Понимание природы вихревого движения является чрезвычайно важным для понимания природных процессов в в атмосфере и океане. Процессы отрыва, сопротивления движению и генерация шума в различных технических устройствах не могут быть описаны без использования тех или иных вихревых моделей. Динамика завихренности идеальной несжимаемой жидкости обеспечивает физически содержательные примеры нелинейных гамильтоновых систем бесконечной размерности, особенно интересными в связи с проблемами динамического хаоса [23].
Однако, несмотря на длительную историю развития вопроса, изучение модели точеч-

Р(у) = (Уз - 1)(уз - 3/1)(1/2 - 1)(У2 - 2/1)-Зависимость А± от значения Ь приведены на рис. 1.9. Обозначая
А± находим, что
д2ы = -+а|---а—
Делая замену переменной
Я+{уУ
приводим полином (1.68) к виду

В результате интеграл (1.66) сводится к интегралу
<Й(А+ - А_)2
(*2 - 1) і2

(1.72)
(1.73)
(1.74)
(1.75)
(1.76)
(1.77)
где д±(С) определены соотношением (1.73).
Обращая интеграл (1.77) с помощью эллиптических функций Якоби [1], получаем
/ЛІГ / (9+ - ?-)/а+
*=УаГТі

(1.78)

сД и
СП и
Дпи’
Возвращаясь к исходным переменным, находим
в! = (1 - а£>/12)1,
ез - 1 - ал/12
+(С)д+(С) - А_(С)9_(С?)сД ,(?+-?-)А+ М
І (А+ — А_)2
А +(С) - у/-(0)<А (їн--«-)>/*+ { (А+ — А_)2 5)

е + Зе,
(1.79)