Алгебраические методы в теории интегрируемых уравнений Клейна-Гордона

• Автор: Брежнев, Юрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Калининград
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
Введение
1 Уравнение sine-Gordon
§1.1 Уравнение sine-Gordon в теории крупномасштабных волн
Россби
§ 1.2 Теорема алгебраической суперпозиции
§ 1.3 Солитоны на эллиптическом фоне
§ 1.4 Позитоны уравнения sine-Gordon
2 Уравнение U„t — еи — е~2 и
§2.1 Предварительные сведения
§ 2.2 Преобразование Дарбу и 2-фазный солитон
§ 2.3 Суперпозиция солитона и эллиптического периодического решения
§ 2.4 Теорема суперпозиции
3 Алгебраические методы
§ 3.1 Алгебраическая трактовка метода Эрмита
§ 3.2 Интегрируемые потенциалы для спектральной задачи
3-го порядка
§ 3.3 Функция Эрмита
§ 3.4 Базисы Гробнера и теорема суперпозиции для уравнения Цицейки

ОГЛАВЛЕНИЕ
Приложение А
§ А.1 Стандартная теория мономов. Базисы Гробнера
Приложение В
§ В.1 Графики решений
Литература
ВВЕДЕНИЕ

Введение
Открытие в конце 60-х начале 70-х годов метода обратной задачи рассеяния МОЗР для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало замечательным не только тем, что появился новый класс уравнений, важных с физической точки зрения и допускающих точные решения. Он привлекателен своими глубокими связями с различными разделами математики на первый взгляд не имеющих отношения к проблемам интегрирования дифференциальных уравнений: спектральная теория операторов, группы Ли, теория рассеяния, дифференциальная алгебра и др. Такие уравнения стали называться интегрируемыми МОЗР или просто интегрируемыми [1]. Этот факт придал МОЗР алгоритмическую эффективность и позволил ему быстро проникнуть в прикладную теоретическую физику. Так, солитонные решения, как простейшие решения этих уравнений давно нашли приложения в гидродинамике (в различных аспектах), нелинейной оптике, сверхпроводимости, физике плазмы, твердого тела и др. Это объясняется как разработанностью метода, так и его вычислительной эффективностью - получающиеся решения убывают на бесконечности, выражаются в элементарных функциях и легко анализируются.
Как известно, МОЗР требует, чтобы потенциалы были быстроубы-вающими. Это условие является достаточно жестким. В противном случае, как показывают исследования, требуется существенное развитие и модификация самого МОЗР. Помимо него был разработан ряд других методов получения солитонных и близких к ним решений. Поскольку эти методы не используют аппарат прямой и обратной задачи рассеяния их принято называть прямыми методами. К ним относятся метод билинейных форм Хироты, преобразования Бэ-клунда (ПБ) [2], преобразования Дарбу (ПД) [3], схема одевания Захарова-Шабатр. И хотя все они в той или иной степени эквивалентны, метод ПД отличается из них наибольшей простотой и отсутствием специальной техники, необходимой, например в методе
Глава 2. Уравнение Uxt = еи - e~2t7

и структуре автопреобразований Бэклунда (АПБ) для (2.1). К тому времени цепочка Тода была достаточно хорошо исследована. В частности, обычные, не авто-ПБ были получены в работе [64]. Они связывали решения уравнения (2.1) с решениями нередуцированной цепочки Тода. Собственно факт редукции цепочки Тода к уравнению (2.1) и был основным препятствием для достижения тех результатов, которые, как считалось, свойственны всем интегрируемым уравнениям: АПБ и полная схема одевания. Однако еще в первых работах [62] было установлено, что классических, контактных АПБ у этого уравнения быть не может. Для уравнений (0.4) АПБ могут быть только если
F(U) - еи или sin П.
Теорема с таким утверждением неоднократно проверялась [2] и только в последнее время стала ясной ее полная справедливость. В §3.4 приведено ее прямое доказательство для исследуемого уравнения. Там же устанавливается, что контактная структура есть, но она не полна. Имеется только одно соотношение вместо двух. В [65] было получено соответствующее преобразование, переводящее решение (2.1) снова в решение (2.1). Как и ожидалось, оно не являлось контактным, а содержало производные второго порядка от функции U. Сама структура этих АПБ оказалась сильно несимметричной: догадаться до нее, исходя из аналогий с уравнением СГ не представлялось возможным.
Наличие АПБ не снимает вопроса о многократном повторении процедуры одевания. Здесь, сложные формулы для АПБ могут стать основным препятствием. Если еще и само затравочное решение является нетривиальным, то полное интегрирование АПБ может стать почти непреодолимым барьером. Методы с использованием -функции всегда оказываются значительно более простыми и элегантными.
Многократное ’’одевание” для интегрируемых уравнений всегда связывалось с формулами нелинейной суперпозиции. Эти формулы, в силу своей ’’алгебраичности” не требуют никакого метода вообще: результат (новое решение) выписывается сразу в явной форме. Имеет ли место подобная теорема для (2.1), и какую структуру она