Некоторые задачи асимптотической теории длинных нелинейных волн

• Автор: Ли Чжи
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Уточненная теория длинных волн на поверхности воды
§1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Уточненные уравнения Буссинеска
§ 1.3. Гамильтонов формализм
§ 1.4. Уточненное уравнение КдФ и его каноническая форма
§1.5. Солитоны на воде
§1.6. О третьем приближении для поверхностных волн на воде 43 § 1.7. Об уточненном уравнении КП
Глава 2. Уточненное уравнение КдФ в других физических системах
§ 2.1. Ионно-акустические волны в плазме
§ 2.2. Волны в нелинейной линии передачи
Глава 3. Нелинейные изгибные волны в свободных жидких пленках
§3.1. Постановка задачи
§ 3.2. Гамильтонов формализм
§ 3.3. Численное моделирование изгибных волн
Заключение
Приложения
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена построению и исследованию модельных уравнений, описывающих нелинейные длинные волны в следующих физических задачах: 1) волны на поверхности тяжелой жидкости, 2) ионно-акустические волны, 3) волны в нелинейной линии передачи, 4) волны в свободной пленке жидкости. Показывается, что в первых трех задачах проблема сводится к исследованию уравнения типа Кортевега — де Фриза (КдФ) с поправочными членами более высокого порядка. В четвертой задаче возникает новая эволюционная система, описывающая нелинейные изгибные (капиллярные) возмущения свободных тонких пленок жидкости. Развивается асимптотический анализ, позволяющий изучить эти задачи по малому параметру.
По содержанию диссертация делится на две части. В первой части (задачи 1—3) выводится и исследуется уравнение типа КдФ
Щ~]~0’1£'Пххх~0'2№'ПЛх~~0‘3£ 1xxxxxгC4:fJ'£'VxxxJ<~Q,5|-£‘]xVxx~~Q'(>L V 'Пх = 0>
(0.0.1)
где щ — численные коэффициенты, £, ц — малые параметры. Во второй части численно моделируются нелинейные изгибные волны в свободных тонких пленках на основе выведенной эволюционной системы.
Как известно, уравнение КдФ впервые было получено Корте-вегом и де Фризом [76] в 1895 г. при изучении волн на мелкой воде с плоским дном, и это уравнение дает аналитическое истолкование замечательного экспериментального открытия Рассела (1834 г.) о суще-
ствовании уединенной волны, которая распространяется вдоль канала (см. [35,43—45]). Уединенная волна — это всякий плоский волновой импульс, перемещающийся в одном направлении в пространстве и сохраняющий при этом свою форму. После работы Забуски и Крускала (1965 г.) [107], где проводится численный эксперимент для уравнения КдФ, появилось слово «солитон», под которым теперь мы понимаем уединенную волну, сохраняющую свою форму и скорость после столкновения с другой такой уединенной волны. Уравнение КдФ, в частности, описывает взаимодействие солитонов, при котором один солитон (быстрый, с большей амплитудой) догоняет другой (медленный, с меньшей амплитудой), и в результате взаимодействия первоначальные форма и скорость солитонов сохраняются. Единственное изменение солитонов после взаимодействия состоит в том, что быстрый солитон приобретает конечный фазовый сдвиг вперед, а медленный сдвигается назад. В 1967 г. Гарднер и др. [66, 67] разработали метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдФ, который существенно обобщил Лаке [78]. После того как в 1971 г. Захаров и Шабат [15] показали, что нелинейное уравнение Шрёдингера также может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния, теория солитонов стала бурно развиваться. В настоящий момент почти в каждой области физики обнаружены солитоны или связанные с ними физические механизмы и известно несколько десяток интегрируемых систем. По теории солитонов имеется ряд книг и монографий (см., например, [1,8,18, 27,35,43—45, 48,49, 52,73,97]). Теория солитонов стала важной частью современной математической физики.
Уравнение КдФ — универсальное уравнение, описывающее слабо нелинейную, слабо диспергирующую плоскую волну. Основные понятия и свойства нелинейных и диспергирующих волн в различных сре-

Рис. 3. Зависимость скорости солитона от его эффективной амплитуды. Сплошная линия — расчет по уточненной теории согласно формуле (1.5.7), пунктирная — по теории КдФ. Экспериментальные данные [105]: о, , Но = 5,0 см; Д, Но — 6,0 см; О, Но = 7,0 см; К, Но — 8,1 см