Колебания пластин треугольной формы с вязкоупругими свойствами

• Автор: Чернышов, Николай Александрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 87 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
1. КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ
1.1. Постановка задачи
1.2. Пластина на упругом основании под действием дополнительного постоянного равномерного растяжения
1.3. Исследование резонанса
1.4. Колебания свободно опертой пластины
1.5. Другие случаи колебания пластины
2. ВЯЗКОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ
2.1. Постановка задачи
2.2. Построение точного решения
2.3. Исследование свойств колебательного процесса
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Данная диссертация посвящена исследованиям свойств колебательных процессов треугольной равносторонней пластины, выполненной из упругого и вязкоупругого материала.
Широкое использование пластинок в современном строительстве и машиностроении повлекло за собой быстрое развитие их теории. Например., задача изгиба прямоугольной пластинки, свободно опертой по двум противоположным краям приобрела большое практическое значение в проектировании плит промышленных зданий. Также получила развитие задача о пластине, опертой в углах, что применяется на практике при расчете железобетонных сооружений, опирающихся на колонны. В связи с проблемами проектирования плит, используемых в автодорожном строительстве и на аэродромах, актуальными стали задачи о пластинах на упругом основании. Необходимость использования в современном машиностроении пластин, прогиб которых велик но сравнению с толщиной пластины, но мал в сравнении с другими размерами, появилась теория изгиба пластин при больших прогибах. В последнее время значительно возрос интерес к пластинам, выполненным из вязкоупругих материалов. Также на практике стали применяться упругие пластины, покрытые с двух сторон вязкоупругим материалом. Такие пластины имеют большое преимущество перед пластинами, выполненными из упругих материалов, так как при частотах колебаний, близких к резонансным для упругой пластины, вязко-упругая в зависимости от степени вязкости материала может значительно снизить амплитуду колебаний, что позволяет избежать разрушения пластины.
Первые попытки решить задачу изгиба упругих поверхностей были предприняты Эйлером в [13]. Рассматривая колебания идеально гибкой мем-

браны как совокупность двух систем струн, натянутых в двух взаимно - перпендикулярных направлениях, он получил дифференциальное уравнение
д2УУ . дгУ
- + В-
а*2 ' ох2 ау2’
где W - прогиб,
А и В - постоянные, определяемые свойствами данной конструкции.
Яков Бернулли- младший (1759-1789) используя ту же теорию в анализе изгиба пластин получил в [3] следующее дифференциальное уравнение
еЫ а4у
й4 ду4 В
Это бьшо первое, хотя и приближенное дифференциальное уравнение изгиба пластины.
Большой интерес к теории пластинок был возбужден книгой Хладни [11] по акустике, в которой он проводил эксперименты по акустике, и в особенности, с вибрирующими пластинками. Покрывая их тонким слоем мелкозернистого песка, Хладни демонстрировал существование узловых линий для различных колебаний и определял соответствующие частоты. В 1809 г. Хладни продемонстрировал свои эксперименты во Французской Академии, чем произвел сильное впечатление на присутствовавшего там Наполеона. По предложению последнего Французская Академия назначила премию за разработку математической теории колебаний пластинок и за сравнение теоретических результатов с экспериментальными.
В 1811 г. к заключительной дате конкурса выявился лишь один претендент - Софи Жермен. Софи сделала попытку вывести дифференциальное уравнение изгиба из интеграла, выражающего энергию деформации изгиба Однако, она допустила ошибку в вычислении интеграла и в связи с этим ей не уда-

то предельный овал вырождается в контур правильного треуг ольника - границу пластины.
На рис. 6 частота колебаний пластины о меньше первой резонансной &
частоты, т.е. о < е» 1. В этом случае линий с малой амплитудой колебаний нет и все точки пластины совершают гармонические колебания. Минимальное значение амплитуды находится на границе.
Рис. 7 соответствует случаю, когда частота находится между двумя кри-* А
тическими значениями © | < со < о 2 Здесь впервые появляются линии с малой амплитудой колебаний в виде замкнутых кривых.

Бели частоту колебаний увеличить (например, © 2< ю ® з ~ рис. 8), то количество таких линий увеличивается. Эта тенденция хорошо наблюдается
Л * А А
также на рис.9 (и з<© <© 4)инарис,10 (© 4<е> <© §).
Из сравнения рисунков 6-10 при Ь = 100 см. с соответственными рисунками при Ь = 200 видно, что с увеличением размера пластины количество линий с малой амплитудой колебаний увеличивается. Расположение таких линий в области пластины в каждом случае имеют правильную структуру, схожую с орнаментами.
Колебательный процесс треугольной упругой пластины также характеризуется и наличием максимальной амплитуды колебаний. Чтобы выявить характерные особенности этого процесса, проследим изменение амплитуды колебаний пластины с высотой 100 см. по рисункам 6-10.

Из рис. 6 видно, что при частотах колебаний со < © * пластина имеет только один максимум, который находится в центре. Далее, увеличивая часто-
& 4с
ту до ©!<©<© 2 = можно увидеть, что в углах пластины появляются локаль-