Условия алгебраической интегрируемости гамильтоновых систем с однородным потенциалом

• Автор: Пономарева, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение
ГЛАВА I. Метод Ковалевской для квазиоднородных
систем дифференциальных уравнений
§ 1.1. Квазиоднородные системы
§ 1.2. Метод Ковалевской и показатели Ковалевской
§ 1.3. Квазиоднородные уравнения Гамильтона
§ 1.4. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы
ГЛАВА II. Гамильтоновы системы с однородным
потенциалом третьей степени
§2.1. Вводные замечания
§2.2. Постановка задачи и основной результат
§2.3. Доказательство основного результата
§2.4. Случаи алгебраической интегрируемости
ГЛАВА III. Гамильтоновы системы с однородным
потенциалом четвертой степени
§3.1. Постановка задачи и основной результат
§3.2. Доказательство основного результата
§3.3. Случаи алгебраической интегрируемости
Заключение
Список литературы

Введение
Точное интегрирование уравнений движения - одна из наиболее популярных и трудных проблем динамики; только небольшое число задач удалось точно проинтегрировать. К сожалению, до сих пор нет общего критерия, который позволил бы определить свойство системы быть вполне интегрируемой (обсуждение этих вопросов см. в [1,2]).
Важным направлением исследований прошлого столетия является изучение интегрируемых систем классической механики, но эта проблема осталась актуальной и в наше время. Под интегрируемыми системами подразумеваются гамильтоновы системы с т степенями свободы, обладающие т независимыми интегралами движения, попарные скобки Пуассона которых равны нулю (см. [3]).
Задача интегрирования гамильтоновых систем (не записанных еще в канонической форме) обсуждалась уже в работах Бернулли, Клеро, Даламбера, Эйлера, Лагранжа, связанных с применением идей и принципов Ньютона к различным задачам механики. Интегрируемыми считались лишь те задачи, которые молено было решить с помощью конечного числа алгебраических опереций и квадратур - вычислений интегралов известных функций. Однако наибо-

лее актуальные задачи динамики (например, задача п тел) оказались непроинтегрированными.
Позже Гамильтон и Якоби разработали общий метод интегрирования уравнений динамики, основанный на введении специальных канонических координат. Идея метода Гамильтона-Якоби восходит к работам Пфаффа, Коши по теории характеристик. Согласно этому методу задача интегрирования канонических уравнений Гамильтона сводится к отысканию производящей функции канонического преобразования, удовлетворяющей нелинейному уравнению Гамильтона-Якоби (см. [4]). Наиболее эффективным способом решения уравнения Гамильтона-Якоби является метод разделения переменных (см. [4]). Этод метод неинвариантен по своей сути и требует большой изобретательности при выборе подходящих переменных. Поэтому, применяя этот метод, часто использовали обратный путь, то есть сначала находили какую-либо замечательную подстановку, а затем разыскивали задачи, в которых она могла быть с успехом применена. Например, в качестве такой подстановки Якоби ввел эллиптические координаты. С помощью эллиптических координат (и их вырождений) Якоби и его последователями решен ряд новых задач динамики, среди которых задача о геодезических на квадриках и задача о движении точки по многомерной сфере в силовом поле с квадратичным потенциалом. Впоследствии Лиувилль и Штеккель указали доволно общий вид гамильтонианов, допускающих разделение переменных. Теперь такие системы называют системами Лиувилля и системами Штеккеля (обсуждение этого вопроса см. в [5]).

Пусть а = О, тогда из первых трех уравнений системы (2.13) получаем:

Ь=Г’ С2 = ~М-
Так как среди показателей Ковалевской есть число 1, то из системы (2.14) получаем, что Х]_х - произвольный параметр, а
х!, = ++Д
Из систем (2.15) и (2.16) получаем, что
У1 123с?2С! , < 2 2 _ 29с? , < ч2
А0 - (А-1) > 0 _ 16 1> ’
х 577с?2 / | 3 „2 459с3С1 , у -,з
Л1 = -ёГ ++ ' л‘ = 1Г '
А из условий совместности (2.18) и (2.19) получаем, что одновременно должны выполняться следующие условия:
51975 , , 4 467775*0
-й— (Х_0 =0 и 812 (Х-0 =0,
которые противоречат произвольности Х и условию (I Ф 0.
Итак, в случае р2 = 7 р4 = 4 не получаем трех свободных параметров.
2) Пусть Аг =2, Л2 = 0,/?! = -1, р2 = 2, рз = 6, р4 = 3. Тогда получаем следующую систему алгебраических уравнений:
Ъас + 26с2 + 6 = О,
6с? + Зс?с? + 6С2 = 0,
12 (2.20) Зас1 + (6 + Зс?)с2 + 6 = 0,
9ас?С1С2 + 36(6с2 — Ь2с{ = 0.
Из первого и третьего уравнений получаем, что (3<1 — 6)с2 = 0. Следовательно, либо с2 = 0, либо 6 = ЗТ Пусть с2 = 0, тогда из первого