Геометрические методы в теории колебаний резонансных систем

• Автор: Фомичев, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание
Содержание
Введение
Глава
Исследование колебаний квазилинейных резонансных систем и теория возмущений их конфигурационных многообразий
Постановка задачи. Порождающая система и ее траектории
Многообразие вырожденных форм и учет возмущений
Локальный эволюционный базис и его свойства. Алгебра Ли векторных полей

Классификация сил по типу порождаемой эволюции
Непосредственное изучение линейных сил
Задача стабилизации вырожденной формы
Траектории системы под действием управления при отсутствии
возмущений
О возможности выбора другой обратной связи
Глава
О круговых колебаниях в системе с трехкратным резонансом
Постановка задачи
Многообразие, соответствующее круговым траекториям
Учет возмущений
Локальный базис
Классификация возмущений
Задача стабилизации формы
Алгоритм получения информации от гироскопа

Глава
Исследование обратной связи во втором приближении
Введение
Необходимые сведения о втором приближении
Подход к задаче стабилизации прямолинейных колебаний
Исследование обратной связи во втором приближении
Глава
О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине
Введение
Постановка задачи и обозначения
Уравнения движения
Первое приближение нормальной формы при резонансе
Интегралы нормальной формы
Периодическое решение
Эффекты срыва и разворота плоскости колебаний
Глава
Задача о колебаниях газового пузыря в жидкости при резонансе частот деформационных и радиальных колебаний 1:2
Постановка задачи
Функция Лагранжа и условие резонанса
Введение безразмерных параметров и упрощение лагранжиана
Построение гамильтониана
Исследование системы методом инвариантной нормализации
Анализ уравнений нормальной формы: периодическое решение, малое возмущение периодического решения, эффект перекачки между модами колебаний
Оценка корректности модели идеальной жидкости
Выводы
Литература
..114-118

Введение
Решение различных задач достаточно часто приводит к исследованию дифференциальных уравнений [5,39,42,43], имеющих вид
2 = /(г) + £(г), (1)
где /, Р (£>); йс£"; а«1-малый параметр, формализующий тот
факт, что соответствующее слагаемое в правой части представляет собой возмущение. Система, получающаяся при а = 0 называется порождающей или
вырожденной. Предполагается, что се точное решение 2 = g(t,x)г где х -набор постоянных интегрирования, известно. Появление сколь угодно малого возмущения (а 0) может качественно изменить поведение системы, что и делает задачу исследования возмущенных систем содержательной.
Возмущенная система, как правило, оказывается не интегрируемой. Однако наличие малого параметра позволяет применять методы приближенного анализа. Основным инструментом такого анализа является метод осреднения [9,26,27,36,37]. Не вдаваясь в детали, которые можно уточнить в цитированной литературе и в тексте данной работы, можно сказать, что суть метода состоит в следующем.
Вначале система приводится к стандартному виду
х = аХ,х,а) (2)
при помощи известной процедуры вариации постоянных. Далее проводится осреднение правой части последней системы по явно входящему времени Г В зависимости от того, является ли правая часть периодической по / или нет, осреднение проводится на периоде, либо бесконечном полуинтервале. В результате получается автономная система

= еХ (.А,фа)
1 1лг
= бХ(А,Ф), где Х{А,ф) = — Х(А,Фа)Ж. (5)
А7Г п
3. Локальный эволюционный базис и его свойства. Алгебра Ли векторных
полей.
Появление возмущений в порождающей системе приводит к эволюциям фигур. Существует четыре типа таких эволюций: изменение частоты
колебаний, изменение их амплитуды, прецессия формы и разрушение формы, определяемое как такая эволюция, которая не может рассматриваться как три предыдущих [17]. Каждому типу эволюций ставится в соответствие определенное направление (или совокупность направлений) в пространстве (А, ф таких, что возмущение, имеющее проекцию на какое - либо из этих направлений, вызывает соответствующую эволюцию. Указанные направления образуют локальный базис в пространстве (А,ф). Ниже приводятся выражения для векторов базиса и исследуются его свойства. Направления разрушения формы образованы множеством нормалей к многообразию М:

N N

• N -1 направление