Динамика твердых тел и вихревых структур в идеальной жидкости

• Автор: Рамоданов, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 215 с. : ил.

Глава 1. Взаимодействие вихрей и твердых тел в идеальной жидкости
1.1. Вывод уравнений движения для кругового цилиндра, взаимодействующего с точечными вихрями
1.2. Интегрируемость и качественное исследование в случае одного вихря
1.3. Случай двух вихрей
1.4. Случай тела произвольной формы
1.5. Движение твердого тела и точечных вихрей на поверхности двумерной сферы
1.5.1. Гидродинамика на двумерных поверхностях
1.5.2. Движение кругового твердого тела на З2
1.5.3. Движение твердого тела на 52, взаимодействующего с точечными вихрями
1.5.4. Явное интегрирование уравнений движения. Диаграмма Смейла и геометрическая интерпретация
1.5.5. Приложение. Вывод формулы для момента М1
Глава 2. Движение нескольких твердых тел в идеальной жидкости
2.1. Движение двух круговых цилиндров в идеальной жидкости
2.1.1. Уравнения движения
2.1.2. Сведение к двум степеням свободы. Первые интегралы и интегрируемость. Отображение Пуанкаре
2.1.3. Ограниченные задачи
2.1.4. Уравнения движения в предельном случае = /?2
2.2. Общие уравнения движения массовых вихрей
2.3. Задача о движении двух массовых вихрей
(качественное исследовгшие)
2.4. Взаимодействие двух сфер. Вывод уравнений движения. Редукция
2.4.1. Уравнения движения
2.4.2. Редукция системы в алгебраическом виде
2.4.3. Симплектические координаты

2.4.4. Ограниченные задачи
2.5. Редукция в задаче о движении двух сфер на 53 и задаче о движении трех вихрей

Глава 3. Самопродвижение твердого тела в идеальной жидкости
3.1. Обобщение теоремы Лиувилля. Вывод уравнения движения деформируемого тела
3.2. Самопродвижение тела с твердой оболочкой
3.3. Случай тела с тремя ортогональными плоскостями симметрии
Приложение 1. Описание программного комплекса
1.1. Общий вид комплекса
1.2. Базовые инструменты
1.3. Зависимые инструменты
1.4. Фильтры и дополнительные окна
1.5. Методы интегрирования
Заключение
Литература

Исследование вихревых структур имеет важное значение в силу очень большого спектра приложений применяемых здесь моделей: с одной стороны эти модели, наиболее хорошо описывают движение подводных аппаратов, крупномасштабную динамику атмосферы и океана (и на сегодняшний день наиболее часто используются для анализа движений различных вихревых образований, таких как, циклоны, торнадо, океанические ринги; анализа динамики примеси, загрязнений, некоторых аспектов прогноза погоды, позволяют объяснить различные явления астрофизики, связанные с возникновением и эволюцией звезд), с другой стороны эти модели активно используются для описания движения вихрей в сверхтекучих жидкостях и находят применение в квантовой механике. Не случайно этой тематике посвящено и посвящается огромное, порой трудно обозримое, число работ во всем мире. Рассмотрим прежде основные этапы возникновения вихревой теории и охарактеризуем ее современное состояние. В основном тексте при обсуждении конкретных результатов будут приводиться более полные комментарии, которые, возможно, иногда будут пересекаться с изложенными во введении.
Ранние исследования по теории вихревого движения восходят к Декарту, Гюйгенсу, Иоганну и Даниилу Бернулли. В этот период были установлены некоторые закономерности вихревого взаимодействия, но вихревая теория Декарта в этот период претендовала на описание движения небесных тел и конкурировала с ньютоновской теорией гравитации. Несмотря на ожесточенную полемику картезианцев и пыотонианцев, теория Декарта вскоре была вытеснена ньютоновской картиной мира и почти совсем забыта. Интересное описание этого периода развития вихревой теории можно найти в книге В. В. Козлова «Общая теория вихрей»

маемой жидкости. Предполагается, что жидкость покоится на бесконечности, а на границе тела выполняются стандартные условия непротекания.
Выберем неподвижную систему координат Оху, а с телом свяжем другую ортогональную систему Осф/ (рис. 15). Будем использовать комплексное представление координат в обеих системах г = х + гу и С = £ + гту соответственно. Контур, ограничивающий цилиндр, обозначим С; его положение на плоскости параметризуется координата-Рис- 15 ми го = Хо + гуо начала подвижной системы Ос и углом
поворота в подвижных осей, пусть га, а = 1, ..., п определяют координаты точечных вихрей.
Как известно, поле скоростей жидкости в этом случае характеризуется (неоднозначным) потенциалом <р(г) либо функцией тока ф(г), так что скорость жидкости в точке г равна
г,!(г) =у1 + ?-у/ = дер (кр_ дф &ф
[г) + дх+гду ду гдхВследствие условий Коши-Римана функции рн-ф определяются друг через друга при помощи квадратур. Иногда удобнее использовать комплексный потенциал течения 'ш(г) = ср(г) + 1ф(г), при этом скорость жидкости ^ (здесь и далее черта над буквой обозначает комплексное сопряжение).
При наличии точечных вихрей функция тока определяется уравнением

А'ф(г) = ^ Та5(г - га),
где га, Га — координаты и интенсивности вихрей, 8(г — га) — 6(х — ха)5(у — — уа) — дельта-функция Дирака. Граничные условия, соответствующие условию непротекания на контуре и нулевой скорости на бесконечности, записываются в форме
фс = ух'У - '°УХ + % ((ж “ -г‘о)2 + (.у - //о)2) , ф{оо) = О,