Исследование треугольных точек либрации задачи трех тел в сопротивляющейся среде

• Автор: Самсонова, Валентина Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение
1 Ограниченная задача трех тел
1.1 Краткая история задачи
1.2 Постановка задачи и уравнения движения
1.3 Частные решения ограниченной задачи трех тел
1.4 Устойчивость точек либрации в случае круговой задачи
1.5 Периодические движения в окрестности Т4, Ь5
2 Задача трех тел при наличии межпланетной среды
2.1 0 природе малых диссипативных сил
2.2 Точки либрации в среде с сопротивлением
2.3 Исследование устойчивости по первому приближению
2.4 Анализ устойчивости в частных случаях
2.4.1 Среда постоянной плотности
2.4.2 Среда с вязким трением
2.4.3 Среда с аэродинамическим сопротивлением
2.4.4 Произвольный закон сопротивления
3 Периодические орбиты ограниченной задачи трех тел в сопротивляющейся среде
3.1 Бифуркации равновесия
3.2 Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа
3.3 Циркуляция диссипативных сил по периодическому решению
3.4 Исследование бифуркации
3.5 Определение типа орбиты

3.6 Построение орбит
3.6.1 Метод ”сечения Пуанкаре”
3.6.2 Реализация метода ”сечения Пуанкаре”
3.6.3 Системы Солнце-Юпитер, Земля-Луна
3.7 Выделение из семейств предельных циклов
3.8 Определение коэффициента бифуркации
3.9 Периодические орбиты в среде типа ”кеп лерово кольцо”
Заключение
Приложение
Приложение
Литература
Введение.

Ограниченная задача трёх тел является одной из основных классических задач небесной механики. Начало в изучении этой задачи положено Эйлером в связи с его теорией движения Луны. Последующее развитие она получила в трудах Якоби, Хилла, Пуанкаре, Леви-Чевитта, Биркгоффа и многих других замечательных учёных. Несмотря на почти двухсотлетнюю историю задачи, она попрежнему актуальна, об этом можно судить по работам Себехея, Маркеева, Брюно.
Внимание к ограниченной задаче трёх тел связано не только с её применением к описанию движения небесных тел. Уравнения движения задачи трёх тел интересны с чисто математической точки зрения, так как являются примером гамильтоновой системы. В процессе их изучения родилось много теорий и методов имеющих общее значение.
К настоящему моменту в классической ограниченной задаче получены исчерпывающие, на современном уровне теории, результаты. На этом фоне интенсивно развивается направление, связанное с постановкой и исследованием модифицированных моделей задачи трёх тел. Некоторые из таких моделей учитывают физические свойства движущегося тела (обобщённая задача трёх тел), другие принимают во внимание дополнительные силы (фотогравитационная задача, задача с сопротивлением среды).
В основе постановки задачи трёх тел в сопротивляющейся среде, лежит, частично подтверждённая наблюдениями, гипотеза о неоднородности космического пространства. Результаты изучения этой задачи могут быть использованы как дополнительные доводы, для подтверждения или опровержения некоторых космогонических теорий.
Исторический опыт показывает важность исследования различных моделей. Так как природа непредсказуема в своих проявлениях, становится актуальным вопрос об исследовании самых разных законов сопротивления. Подобный подход прослеживается в работах Денби, Джефриса, Иванова.
В модели ограниченной задачи трёх тел с учётом среды, неподвижной относительно абсолютной системы координат, используется закон предложенный Смартом. Эта модель особенно интересна с математической точки зрения, так как в ней получены довольно неожиданные результаты, касающиеся устойчивости треугольных точек

Теорема(Ляпунов [1892]). Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, то положение равновесия асимптотически устойчиво. Если хотя бы одно из них лежит в правой полуплоскости, то имеет место неустойчивость
Анализ устойчивости положения равновесия системы (2.2.1) сводится к определению знаков вещественных корней характеристического уравнеия (2.3.8). Для упрощения структуры Ф(А,е) проведём оси вспомогательной системы координат Оху г вдоль собственных векторов матрицы (2.3.4), так, чтобы ось Ог совпала с осыо вращения. Тогда 1= 0 и третья координата в характеристическом уравнении отделяется в виде многочлена:
Л2 + к3( + 1 + ф) = 0. (2.3.9)
Он имеет корни в левой полуплоскости. Таким образом, устойчивость определяют оставшиеся две пары корней, удовлетворяющие уравнению:
Ф(А,є) = <ієі
А2 — а, + Т А/3) —2А + є(с?іт7
2А + &{<1ц + А/?2$) А2 — а2 + є(2 г) + А/?2т?)
(2.3.10)

-ч0/'
р£0 дд I
. Й1І М.
дхгія
д _ го.,о Г1о,,о д/ ~ 9 ~гі9 ~'
+ і?°/с
д — го „о і ао ,,о д} «24-/5 +Я 9 щ
дх2>
д3П дх2ду I
д3П А2
Шущ £ ’
І Ж _ ’ кп к„ э3п

ьо - дхду2
-єґР-і -і #.
24 5 у Щ ОЙ7ІМ. Шсду2 £ а«3 £

Я'ЇІй, ’
Ап = /V + £°
здесь ал,а2
о го ду I
21,5 ’ собственные
значения матрицы (2.3.4),
(2.3.11)
- вычисляются в новой системе координат Ожуг