Вопросы интегрируемости уравнений движения твердого тела

• Автор: Онищенко, Дмитрий Арсеньевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 c. : ил

Глава I. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа
§ I. Постановка задачи
§ 2. Периодические решения, асимптотические поверхности и неинтегрируемость в гамильтоновых системах
§ 3. Периодические и асимптотические решения
уравнений Кирхгофа
§ 4. Вычисление определяющего) интеграла
§ 5. Теоремы о расщеплении сепаратрис и неинтегрируемости в задаче о движении твердого тела в жидкости
§ 6. Замечания о неинтегрируемости уравнений вращения твердого тела в осесимметричном поле сил
Глава II. Интегрируемость и неинтегрируемость гамильтоновых
систем вблизи положения равновесия
§ 7. Метод нормализации Биркгофа
§ 8. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра
§ 9. Приложение к задаче о вращении динамически
симметричного твердого тела
Глава III. Качественное исследование движения твердого тела
в случае Клебша
§ 10.Предварительные замечания
§ II.Приведение уравнений движения к уравнениям
на торе
§ 12.Поведение углов Эйлера
§ 13.Геометрическая картина движения твердого
тела в случае Клебша
Заключение
Литература

Задача интегрирования (в квадратурах при том или ином выборе допустимых функций) систем дифференциальных уравнений, описывающих обычно поведение какой-либо механической системы, всегда была в сфере интересов многих математиков и механиков. Знание всех переменных задачи как функций времени и начальных значений (то есть, знание общего решения) позволяет получить полную картину поведения системы и исследовать его особенности.
Возможность получения общего решения в явном виде тесно связана с наличием достаточного числа первых интегралов (имеются в виду глобальные первые интегралы - полный набор локальных существует, вообще говоря, всегда). Для автономных гамильтоновых систем с А степенями свободы Лиувиллем была доказана теорема о возможности интегрирования в квадратурах при наличии А первых интегралов в инволюции /”37__7 (такие системы называются вполне интегрируемыми).
Правда, отнюдь не всегда квадратуры, которые включают в себя вычисление интегралов (а они могут не выражаться через элементарные функции) и обращение функций, являются обозримыми и представляют какую-нибудь практическую ценность (не считая их ценности с точки зрения методологической). Однако даже в этом случае о поведении исследуемой системы можно узнать довольно многое. Оказывается, в условиях теоремы Лиувилля можно также утверждать /”2_7, что фазовое пространство расслаивается на Д-мерные многообразия, которые в случае, когда они компактны, являются торами и несут на себе условно-периодические траектории. Вследствие такой картины переменные задачи являются, вообще говоря, квазипериоди-ческими функциями времени, а этот факт, в свою очередь, позволяет привлечь для качественного описания движения системы хорошо из-

вестные свойства квазипериодических функций и интегралов от них.
К сожалению, интегрируемых систем в некотором смысле мало. Скажем, типична следующая ситуация: система зависит от некоторого параметра и интегрируема лишь при изолированных значениях параметра. Поэтому ясно, как важно уметь отличить интегрируемую задачу от неинтегрируемой. Доказать интегрируемость можно лишь предъявив полный набор интегралов в инволюции. Доказывать же не-интегрируемость можно несколькими способами. Первые и, тем не менее, фундаментальные результаты здесь принадлежат А.Пуанкаре /"33_7. Им предложена теорема о неинтегрируемости гамильтоновых систем, близких (в смысле значений некоторого параметра) к интегрируемой. А.Пуанкаре также показал, что неинтегрируемость связана с характером поведения некоторых особых траекторий - периодических и асимптотических решений. Недавние результаты, касающиеся приложения указанных идей к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки /~16_7, Г14_7, еще раз доказали их плодотворность.
В последнее время, в частности, получил развитие так называемый метод расщепления сепаратрис (асимптотических поверхностей), также восходящий к А.Пуанкаре. В работах Г17,44,14,15_7 доказаны теоремы о расщеплении (несовпадении) асимптотических поверхностей, их взаимном пересечении и связи такого рода явлений с неинтегрируемостыо гамильтоновых систем.
Очень часто в различных задачах особый интерес вызывает поведение траекторий гамильтоновых систем в окрестности положения равновесия или периодической траектории. Это, например, связано с вопросами устойчивости. К первому случаю (он может быть автономным или неавтономным) часто приходят после понижения порядка системы, производимого с помощью первых интегралов. При наличии "циклического" первого интеграла пониженная система является

тоновой системы можно получить, изучая возможность приведения гамильтониана к нормальной форме Биркгофа /”6_7. Эта проблема тесно связана с интегрируемостью системы, так как если нормализующее преобразование сходится, то система обладает независимыми интегралами в инволюции. Отметим, что в случае независимых частот линеаризованной системы всегда может быть построено нормализующее преобразование в виде формальных рядов. Если же частоты зависимы, то возможность такого построения определяется тем, обращаются ли в ноль некоторые коэффициенты (их называют резонансными) в разложении гамильтониана. В работе /”19_7 (см. также /“17, гл. У1_7) впервые отмечено, что если существует полный набор интегралов, то (при некоторых дополнительных условиях) резонансные коэффициенты обращаются в ноль. В статье /“29_7 доказывается обобщение этой теоремы.
Переходим к строгому изложению.
2. Результаты, касающиеся возможности приведения гамильтониана к нормальному виду (в окрестности положения равновесия), хорошо известны. Полное их изложение можно найти в работах /”12,
27_7. Имея в виду дальнейшие приложения, опишем вкратце метод нормализации.
Итак, рассмотрим каноническую систему с 1Ь степенями свободы, гамильтониан которой
является аналитической функцией в окрестности положения равновесия £ =% - О. Тогда
И=Ни>*Ни>+...'Н,к)<

£ по переменным
имеет вид