Метод сравнения в задачах об асимптотической устойчивости и неустойчивости

• Автор: Перегудова, Ольга Алексеевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 85 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Об исследовании устойчивости неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
1.1. Введение в метод сравнения. Теорема Важевского. Основные теоремы сравнения с вектор-функцией Ляпунова
1.2. Локализация положительного предельного множества
1.3. Теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы ОДУ
1.4. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных
1.4.1. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных при предположении
ограниченности решений по неконтролируемым координатам
1.4.2. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных без предположения ограниченности решений по неконтролируемым координатам
1.5. Приложение к исследованию устойчивости механических систем
Глава 2. Об исследовании устойчивости функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием.
2.1. Основные определения. Теоремы существования, единственности, непрерывной зависимости и продолжимости решений. Предельные уравнения
2.2. Теорема сравнения для устойчивости. Локализация положительного предельного множества решений неавтономной системы

ФДУ с конечным запаздыванием
2.3. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения ФДУ с конечным запаздыванием
2.4. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных
Заключение
Литература

Введение
Метод функций Ляпунова является основным в качественном исследовании устойчивости движения различных систем [28, 14, 29, 1, 20, 56, 57, 58]. Но основной трудностью при применении этого метода к конкретным задачам является построение функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям той или иной теоремы. Поэтому одним из главных направлений развития метода функций Ляпунова является расширение класса функций, применяемых для исследования устойчивости.
Дальнейшим развитием метода функций Ляпунова явился метод сравнения, который возник в начале 60-х годов как объединение прямого метода с теорией дифференциальных неравенств типа Чаплыгина [23, 43, 64]. Основная идея принципа сравнения заключается в том, что если существует функция Ляпунова, удовлетворяющая заданным сравнительным оценкам, то различные динамические свойства исходного уравнения вытекают из соответствующих динамических свойств системы сравнения. Как и второй метод Ляпунова, метод сравнения не требует решения уравнений возмущенного движения, а значит, имеет большие возможности в приложениях. В отличие от второго метода Ляпунова, в теоремах сравнения производная функции Ляпунова не является знакопостоянной в общем случае. Иными словами, метод сравнения представляет собой обобщение прямого метода Ляпунова [27, 58].
Этот метод стал развиваться во многих направлениях, в частности, в работах [65, 30] вместо одной функции Ляпунова было предложено использовать несколько функций, каждая из которых удовлетворяет менее жестким требованиям, чем исходная функция. Была выдвинута идея векторной функции Ляпунова (ВФЛ), удовлетворяющей конечномерному дифференциальному неравенству типа Чап-

(3.8)
Система сравнения имеет вид
щ = 4 sin t щ
ii2 = 4е~* щ
Нулевое решение и = 0 системы (3.8) равномерно устойчиво.
Определим функцию w(t, х) = (wi(t, ж), 102(С ж)) следующим обра-зом
wi(t, х) = ехр[— / 4 sintdt] v(x)
W2(£, X) = exp[— f Ae~ldt] V2(ж)
Тогда, дифференцируя функцию w(t. x) по t. в силу системы (3.7), получаем

Wi = ехр[— J Asintdt](—4sin t v + ф)
W2 = ежр[— / 4е~*сЙ] (—4e~* - П2 + Ф)

Г гс?1 = — e4cosi_4 - 2 sin21 vi (ж2 + ж2) > О
{ W2 = —c4ea:P(_t)-4 . 2 sin2 £ г/2 (ж2 T x%) > О
Т.о. получаем, что w*(t,x*) = 0 , где w*(t,x*) - производная предельной функции W* (£, х) в силу предельной системы
f х — (sin(£ + а))х + sin(£ + а)х + sin2(£ + а) [(ж);)3 + Яц(ж2)2]
[ ±2 = (sin(£ + а)х -f sin(£ + а)х + sin2(£ + <т)[(ж*)2Ж2 + (ж2)3]
Т.о. получаем
f sin2(i 4- а) - ф (ж);2 + xf)
[ sin2(£ + а) - v - (ж*2 + ж22)
Множество
{V*(t,x) = y*(t,c),c = {chc2)T,Ci > 0, г = 1,2} П {/*(£, Ф*(£, х),х) = 0} имеет вид
{|(Ж1+Ж2)2 = Cxexp40084"“),(xi — Ж2)2 = с2ехр-4, Cl > 0, С2 > 0} П {sin2(£ + a)[(a)i)3 + a)i(a)2)2] = 0,sin2(£ + <т)[(ж1)2ж2 + (жз)3] = 0} . Это множество не содержит решений предельной системы.