Движение механических систем при односторонних связях с трением

• Автор: Отраднова, Лина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Математическая модель удара с трением
1.1 Модели удара тела о шероховатую поверхность
1.2 Удар твердого тела
1.3 Удар свободного шара
1.4 Удар плоского твердого тела
1.5 Удар свободного плоского диска
2 Движение диска между параллельными прямыми
2.1 Алгебраический анализ
2.2' Метод диаграмм
2.3 Подвижные прямые
2.4 Вертикальный канал
3 Движение шара между параллельными плоскостями
3.1 Неподвижные плоскости
3.2 Подвижные плоскости
3.3 Вертикальные плоскости
4 Движение шара внутри сферы и цилиндра
4.1 Движение шара внутри сферы
4.2 Движение шара внутри цилиндра
5 Удар катящегося шара о шероховатую стенку
5.1 Удар катящегося тела о шероховатую поверхность
5.2 Удар катящегося шара о шероховатую стенку
5.3 Шар в прямолинейном канале с шероховатыми стенками110
Заключение
Литература

Введение.
Диссертация посвящена задачам о движении твердых тел. соударяющихся с шероховатыми поверхностями. Рассматривается несколько задач о движении: плоского диска, движущегося по инерции в прямолинейном канале; шара, движущегося по инерции между двумя параллельными плоскостями, внутри сферы и внутри кругового цилиндра: а также рассматривается задача об ударе катящегося тела о шероховатую стенку. Считается, что при ударе шероховатых поверхностей происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящее в том, что касательная составляющая скорости контактирующей точки тела обращается в нуль, то есть выполняется условие качения без проскальзывания. Показывается, что во всех случаях движение в пределе выходит на установившийся режим по скорости: угловая скорость шара (или диска) стремится к постоянному значению, а скорость его центра становится периодической. В некоторых случаях на установившийся режим выходят и координаты, определяющие положение и ориентацию шара.
Движение тел с ударами является классической задачей механики. Удар моделирует взаимодействие элементов механической системы кратковременное, но приводящее к конечным изменениям параметров движения системы. Для описания такого взаимодействия используется понятие ударного импульса, т.е. импульса, приобретаемого системой или ее элементами за время взаимодействия. С формальной точки зрения удар можно описывать как движение системы с выходом на границу односторонней связи, или как движение при мгновенном наложении и снятии двухсторонней связи. Систематическое изложение теории удара в механических системах в терминах идеальных (т.е. без трения) связей дано Аппелем [1]. Современное изложение теории идеального удара можно найти в [3]- [12]. Геометрическое описание теории идеального удара состоит в том, что скорость (или импульс) системы в момент удара раскладывается в кинетической метрике на касательную и нормальные компоненты к плоскости удара. Касательная составляющая во время удара сохраняется — этот закон составляет теорему Аппеля о сохранении касательного импульса. Нормальная составляющая меняет направление на противоположное и уменьшается по модулю пропорционально коэффициенту восстановления — этот закон составляет модель

Ньютона при неупругом соударении. Вариационное методы в теории идеального удара описаны в работах [62], [2], [14]- [18]. Вопросы устойчивости в системах с односторонними связями рассмотрены в работах [19]- [22] Обоснование физической реализации односторонних связей методом предельного перехода дано в работах [2], [23]-]32] Обзор современного состояния теории удара механических систем и, в частности, соударения твердых тел дан в [2], [10]- [13], [56].
В настоящее время получило развитие изучение неидеальных ударов, или ударов с трением. Построение таких моделей удара представляет интерес не только при рассмотрении классических задач механики, см., например, [11], [33], но и при изучении динамики робототехнических систем. В частности, учет трения при ударном взаимодействии важен для изучения динамики ходьбы, см., например, [34]- [38].
Раус в [39] рассмотрел удар твердого тела о поверхность при наличии сухого трения, его модель получила развитие в работах [40], [41] (цит. по [11], [33]). Полный анализ этой модели дан в [11]. В этой модели во время ударного взаимодействия контактирующая точка тела может проскальзывать по поверхности контакта. К контактирующей точке тела приложена сила трения, направленная противоположно вектору скорости скольжения. Величина силы трения зависит от силы нормального давления в точке контакта, а также от скорости проскальзывания тела. Считая геометрические параметры тела неизменными на интервале времени контактного взаимодействия, можно выписать точную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую изменение ударного импульса на этом интервале. Под ударным импульсом понимается импульс, приобретенный телом благодаря реакциям, действующим на него в точке контакта на интервале ударного взаимодействия. Применение такой модели может быть затруднительно, поскольку требует анализа изменения скорости проскальзывания и ударного импульса на интервале времени контакта.
В диссертации используется упрощенная модель удара с трением тела о неподвижную поверхность. Предполагается, что коэффициент трения велик, и за время контакта проскальзывание контактирующей точки тела успевает закончиться. Это означает, что касательная составляющая скорости контактирующей точки тела обра-

Приведя подобные члены, можно получить, что:
(та2 + Jc)x~ + а(1 — c)J'izшv

J + та2 (та2 + Jc)y~ - а( 1 - с) Jryzы~x
(1.3.12)
(1.3.13)
7 + та2
Для случая абсолютно упругого соударения с абсолютно шероховатой поверхностью, т.е. при V — 1, с — 0 получаем:
+ _ -та.у- +

/ + та2 та,угх~ + Зиіу
J + та2
х+ = ау2иі+, у+ = -ауги+, і+ = — г~.
(1.3.14)
(1.3.15)
1.4 Удар плоского твердого тела
Рис. 1.3: Удар плоского тела о шероховатую кривую Е.
В этом разделе рассматривается удар с трением для плоского тела. Рассуждения аналогичны проведенным в разделе 1.2 с учетом