Устойчивость линейных периодических систем с постоянным запаздыванием

• Автор: Николаев, Сергей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава I. Оператор монодромии
§ 1. Эволюционный оператор
§2. Краевые задачи для периодических систем с по
стоянным запаздыванием, соизмеримым с периодом
§3. Сильная устойчивость канонических уравнений
Глава II. Бифуркационные методы исследования устой
чивости периодических систем с запаздыванием
§ 1. Устойчивость периодической системы дифферен
циальных уравнений с запаздыванием 32кх(0 = Н1(г)х(г) + Н2(?)х(-су)
§2. Признаки асимптотической устойчивости
§3. Неустойчивость периодической системы
х(У) + Н(/)х(? -со) = 0 Глава III. Устойчивость периодических решений нели
нейных дифференциальных уравнений с запаздыванием
§ 1. Устойчивость периодического решения нелиней
ного дифференциального уравнения х(г) = -а/(х(/-1))
§2. Об устойчивости периодического решения урав
нения х(?) = -от ЯШ У.{*. 1)
1итература

Введение
Введение
В самых разнообразных областях современной науки и техники встречаются динамические системы, описываемые системами дифференциальных уравнений с последействием. Такие системы используются в математических моделях механики сплошных сред со сложной реологией [3, 60] при описании необратимых термодинамических процессов [21, 60], при учете конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий [16, 28], в математических моделях биологии [5, 11, 59], в системах автоматического управления [32], и, наконец, системами дифференциальных уравнений с последействием описываются некоторые технологические процессы [43, 74].
Актуальность темы. На качественное поведение динамической системы влияет наличие последействия в математической модели [1, 2, 8, 29, 30, 32, 35, 50, 63]. Поэтому проблема изучения периодических колебаний в системах дифференциальных уравнений с последействием всегда привлекала к себе большое внимание [4, 9, 26, 31, 32, 34, 45, 56-58, 63, 66]. Важным свойством периодических движений является свойство устойчивости. В настоящее время достаточно хорошо развита теория устойчивости линейных стационарных дифференциальных уравнений с последействием [8, 32, 42, 49, 51, 52, 55, 63, 65, 80, 84]. Для линейных нестационарных периодических систем с
последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений [6, 7, 13, 14, 15, 18, 22, 23, 33, 37, 38, 39, 41, 44, 47, 68, 83]. На сложность этой проблемы указывают трудности, которые имеют место в теории устсйчтшосги линейных периодических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями [40, 76]. В нашем случае эта проблема усложняется бесконечномерностью объекта исследования [35, 63].

Введение
В теории устойчивости линейных периодических дифференциальных уравнений с последействием развиваются несколько направлений. Фундаментальные результаты в теории устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений получены в работах А.М. Зверкина [22], А. Халаная [61, 62], Дж. Хейла [63], С.Н. Шиманова [69, 70], А. Стокса [88] и В. Хана [82]. Применяемый в работе подход к исследованию устойчивости является развитием первого метода Ляпунова. Центральным понятием в нем является оператор монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием. Так, для асимптотической устойчивости указанных динамических систем необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии лежали на комплексной плоскости внутри единичного круга с центром в начале координат. Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию первого метода Ляпунова для периодических дифференциальных уравнений с последействием.
Цель работы. Развитие бифуркационного метода исследования устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. Нахождение эффективных признаков асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) для периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Методика исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория устойчивости движения, функционального анализа, теории функциональнодифференциальных уравнений и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании на устойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием основным является понятие оператора монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость таких систем. Задача нахождения собственных чисел оператора монодромии сводится к задаче нахождения собственных чисел краевой задачи

Глава II §
Глава II
БИФУРКАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ § 1. Устойчивость периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием
Л2Ах(0 = Н1(г)х(0 + Н2()х(/:-су)
Рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздыванием
124 = Н1(0х(0 + Н2(0хЦ-<у), (2.1.1)

где х:91 —>9124,ш> 0; Н, и Н2 - су-периодические вещественные симметрические интегрируемые по Лебегу на отрезке [0,со] матрицы-функции, причем матрицы Н2ф) неотрицательны почти при всех / е 91, а система уравнений ]2кх - Н,(.9)х = 0 и Н2(.9)х = 0 имеет лишь тривиальное решение х = 0.
Сформулируем основной результат этого параграфа, который будет доказан ниже.
Теорема 2.1 Л. Для асимптотической устойчивости системы (2.1.1) необходимо и достаточно, чтобы Н1±Н2е(Т“), т.е. чтобы системы канонических обыкновенных дифференциальных уравнений с гамильтонианами Н = Н1±Н2 были сильно устойчивы и все их мультипликаторы с положительной мнимой частью были мультипликаторами второго рода.
1. Краевые задачи. В первой главе показано, что для асимптотической устойчивости системы (2.1.1) необходимо и достаточно, чтобы у краевой задачи