Аналитическое и численное исследование устойчивости стационарных движений

• Автор: Степанов, Сергей Яковлевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 219 с. : ил

Глава О Введение
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы и выполнена по планам научных работ ВЦ РАН, а также по проектам РФФИ 99-01-00785, РФФИ 01-01-02001 и Федеральной целевой программы ” Р1нтеграция”.
Исследование стационарных движений механических систем составляет необходимый первый шаг любого исследования механических систем.
В диссертации разработана теория исследования устойчивости стационарных движений механических систем и решены актуальные задачи устойчивости стационарных движений для таких систем как спутник-гиростат на круговой орбите, обобщенная задача трех тел (обобщение состоит в замене ньютоновского взаимодействия двух из трех тел произвольным потенциальным взаимодействием), транспортной системы тягач-полуприцеп и других.
При этом была разработана также определенная методика применения компьютерных методов аналитического и численного исследования, основанная на доказанных в диссертации теоремах, обобщающих известную теорему Рауса об устойчивых стационарных движениях, и на специальных симметричных критериях условной знакоопределенности квадратичной формы на линейном многообразии.
Часть результатов представлена в виде компактных аналитических формул. Этого удалось достичь выбором полуобрат-ных постановок задач и введением дополнительных избыточных систем переменных и параметров.

Обойти экспоненциальное нарастание громоздкости аналитических выражений в процессе вычислений удавалось, используя имеющиеся в исходной постановке задачи свойства симметрии. Помимо симметрии, выражающейся в наличии линейных интегралов и циклических координат исходные выражения кинетической и потенциальной энергий часто обладают инвариантностью но отношению к перестановке двух индексов или к круговой перестановке трех индексов. В этих случаях целесообразно использовать симметричные схемы вычислений или заменять параметры на соответствующие элементарные симметрические многочлены, а также избегать применения некоторых стандартных методов исследования, которые могут разрушать эти симметрии. Например, применение стандартного критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм к симметричным квадратичным формам приводит к несимметричным выражениям, входящим в условия знакоопределенности.
В ВЦ им. А.А.Дородницына РАН, в Институте проблем механики РАН, в Институте прикладной математики РАН и в других научных центрах в нашей стране и за рубежом накоплен большой опыт применения систем аналитических вычислений, таких как REDUCE и MAPLE, в алгоритмизации методов аналитического исследования задач теоретической механики (см.например, [49, 23]). Обширная библиография приведена в [14]. Основная трудность здесь состоит в быстром росте громоздкости выражений и в связанных с этим жестких ограничениях на размерность системы и число буквенных параметров. Для устранения этой трудности не достаточно наращивания памяти компьютера. Данная диссертация нацелена не столько на алгоритмизацию известных аналитических методов механики, сколько на их модификацию с ориентацией на использование компьютерных средств.
Применение теоремы Рауса об устойчивости неразрывно связано с исследованием условной знакоопределенности квадратичных форм на линейных многообразиях, которое восходит, видимо, к Вейерштрассу. В монографии [85] Хэнкок излагает курс лекций, прочитанных К.Вейерштрассом в Берлине в

1845 и содержащий основные связанные с этим вопросом теоремы и критерии. Теорема, фигурирующая в [85], была передо-казана в [79, 80] с помощью теоремы Финслера-Герштейна [83] об условной знакоопределенности квадратичной формы на нулевом уровне другой знакопостоянной квадратичной формы. Затем последовала череда работ с передоказательствами того же утверждения (см., например, [71, 69, 73, 8]). Внимание к этой задаче со стороны механиков возродилось вновь в предвоенные и военные годы, что было связано с предложенным Н.Г.Четаевым способом построения функций Ляпунова из первых интегралов уравнений движения, а также с работами Л.Сальвадори, посвященными развитию исследований Рауса [105] и с исследованиями Г.К.Пожарицкого [43] по общим методам построения функций Ляпунова. Из результатов Г.К.Пожарицкого фактически следует эквивалентность условий устойчивости, получаемых по методу Четаева построения функций Ляпунова в виде связки интегралов уравнений движения и из теоремы Рауса. Сформулирован этот результат был в работе [120], где указана также симметричная форма критерия условной знакоопределенности и рассмотрен вопрос об индексе квадратичной формы на линейном многообразии, играющий важную роль при получении достаточных условий неустойчивости и при исследовании возможности гироскопической стабилизации. О дальнейшем развитии исследований по данному вопросу можно узнать из [19].
В последнее время появилось много работ по интерпретации результатов Рауса по устойчивости стационарных движений с точки зрения современных алгебраических подходов. Анализ таких подходов, проведенный В.В.Румянцевым [58], показывает их эквивалентность подходам Рауса и Четаева.
Помимо исследований в области устойчивости по Ляпунову в диссертации разработана также теория и методика численного исследования поставленной Н.Г.Четаевым задачи о (Л, А, £о, Т)-устойчивости в конечном и на конечном интервале времени. Эта теория основывается на первом и втором методах Ляпунова и содержит различные определения устойчивости, теоремы об устойчивости, обращения этих теорем и численные

из которой определяются величины г° и А°. Учитывая очевидное тождество
dDD~1 дг =
второе слагаемое первого уравнения системы (3.19) можно представить в виде
= d^d
or or
Используя соотношение (3.18), заключаем, что этой системе удовлетворяют значения г = г°, Л = Л°. Следовательно, г° = г°, Л° = А° (при условии (3.18)). Аналогично доказывается, что если г = г°, А = А° - решение системы (3.19), то г° = г°, А° = А°, где г°, А° - решение системы (3.17) при
с = и>Д) (3.20)
В вопросах устойчивости СД и ОР систем с симметрией аналогичного полного согласования нет. Точнее справедлива
Теорема 4. Если приведенный потенциал Wu имеет строгий локальный минимум в точке г = г°, то эффективный потенциал Wc имеет строгий локальный минимум в точке г = г° при условии, что с и и; связаны соотношением (3.18) ((3.20)).
Доказательство. Пусть выполнено соотношение (3.18) ((3.20)). Тогда г° = г° = г°. При этом
(Wc{r) - Wc(r°)) - (Wo, (г) - ИЦг°)) = С'-С'о + П-По =
= ^ с (Я-1 - ^о1) CT+^UJ (D- Do) шТ =
=•• - и) (DqD^Do - 2D0 + D) шт = - x D~l xT >

x — u(D0 — D)
Следовательно
Wc(r) - Wc(r°) > Wu{r) - ЖДг°) т. e. если Иф(г) > nCj(r0) то и Wc(r) > TTc(r°).
Следствие. Если OP устойчиво в вековом смысле, то и соответствующее СД также устойчиво в вековом смысле.