Построение и оптимизация ω - предельных множеств управляемых релейных систем при действии возмущений

• Автор: Кирин, Борис Ефимович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 86 с.

ВВЕДЕНИЕ
Анализу систем автоматического управления с разрывными характеристиками (обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с разрывной правой частью) посвящено много работ общего и частного плана, в которых исследуются математические вопросы корректности модели, понятия решения соответствующей системы ОДУ , асимптотики поведения, оптимального управления и т.п. [2,6,10,
13,19,20,23,31,32,36,39,41,43,48-52,53,54,56]. Большое внимание уделяется моделям, в которых учитываются не только типичные разрывные характеристики, но и отражаются физические эффекты, приводящие к неоднозначности правой части исследуемой системы ОДУ. Это прежде всего модели, содержащие релейные характеристики (релейное управление с учетом эффекта гистерезиса)[2,3,5,19,22, 24,25,41,43,51,52]. Важное место в теории и приложениях занимают работы, где изучается влияние возмущений помех на поведение траектории управляемых и неуправляемых систем. Чаще предполагается, что эти возмущения носят случайный характер или являются асимптотически исчезающими величинами. Заметно меньшее число работ посвящено исследованию незатухающих неопределенных на бесконечном временном интервале возмущений. Отметим здесь работы [7,15,45,55] этого направления. В качестве характеристики таких возмущений обычно принимаются некоторые "геометрические ограни?? чения" - пределы их возможных значений в каждый момент времени. Задачи экстремального управления с такими ограничениями нередко интерпретируются как игровые (например, задачи о гарантированном результате [33-35]). Однако конструктивный аппарат построения таких управлений развит недостаточно, несмотря на имеющиеся универсальные подходы такие, как решение уравнений Айзекса-Беллмава.

Данная работа посвящена задаче построения и исследования асимптотики со -предельных множеств систем с релейным управлением, в котором возмущение порождается неточными измерениями фазового состояния в сигнале обратной связи, причем погрешности измерений предполагаются произвольными интегрируемыми функциями со значениями в заданных пределах (незатухающие неопределенные помехи). Целью невозмущенного управления является стабилизация заданного режима (состояния равновесия), а при наличии возмущений - минимизация амплитуды возможных колебаний в окрестности заданного идеального режима (нуля фазового пространства). В последнем случае при указанном типе возмущений возможно как множество состояний равновесия, так и множество периодических движений, наличие скользящих режимов . По этой причине данная постановка задачи примыкает к задачам об устойчивости интегральных многообразий [17], устойчивости нереализуемых движений [22] или устойчивости систем с множеством состояний равновесия[14,3, а также к задачам о практической устойчивости [1].
Для математического исследования поставленной задачи, учитывая неопределенность возмущений в разрывной правой части ОДУ, необходимо прежде всего уточнить понятие решения таких ОДУо Это делается путем рассмотрения такой системы как дифференциального включения с последующим доопределением правой части по одному из способов, указанных в монографии [50](выпуклое замыкание многозначного поля направлений). Далее на решениях построенного дифференциального включения можно перейти к анализу асимптотики движений. Это делается с помощью прямого метода Ляпунова, отправной точкой в котором взята теорема Барбашина-Красовского об устойчивости в целом [8,9].
В первой части настоящей работы рассматриваются общие вопросы, связанные с модификацией теоремы Барбашина-Красовского для дифференциальных включений. Выделяется основная конструктивная идея этой теоремы, позволяющая по знаку производной некоторой функции на решениях дифференциального включения устанавливать множество в пространстве состояний, в котором отсутствуют СО -предельные точки решений данного дифференциального включения. Следовательно, СО -предельные точки могут оказаться разве лишь в дополнении установленного таким образом множества. Пересечением подобных дополнений можно получать оценки искомого со -предельного множества. Отмечается возможность в качестве функций Ляпунова, кроме традиционных полиномиальных конструкций [11, 19-21,40], использовать линейные и параболические сплайны при переходе к сферическим координатам в фазовом пространстве.
Во второй главе общая теория первой главы реализуется для управляемых систем второго порядка. Здесь для каждого фиксированного типа структуры линейной правой части ОДУ управляемой релейной системы путем анализа фазового портрета удается сформировать кусочно-гладкие функции Ляпунова, позволяющие дать точное описание границы искомого СО -предельного множества и на этой основе указать способы оптимизации параметров управления по упомянутому выше критерию точности - минимизация амптитуды предельных колебаний . Интересно отметить, что оптимальные управления рассмотренного класса приводят к существенно меньшей амптитуде предельных колебаний по сравнению с колебаниями при синтезе оптимального по быстродействию при том же уровне управляющего сигнала и типе (и уровне) возмущений
Основные результаты работы состоят в следующем.
1. Для обыкновенных дифференциальных включений установлена

Пусть теперь У+Ф£|£ ,к>0 . Тогда функция Ч-у-ку
в РПФ" имеет производную
Ч? = -Я2у2+1-к(Л1-1)>р>0
Здесь учтено, что 111 + 1у2<1/|А1и1/|Я21+ ,с)>0
вследствие условия У+ $, а значит и У. £
Гарантированное неравенство 4!>р>0 означает, что траектории из РД{-с}достигают границы этого множества на прямой Ч7 = -С и не возвращаются внутрь Рд{Ч-с1 Аналогично, траектории из РП{¥>с} в конечное время попадают на прямую Ч)=с - части вР границы зоны о В пределах зоны РпЗЦ поведение траек-
торий определится знаком функции ОТ <, Найдем в Ф£г множества, состоящие из целых полутраекторий, где V- О .К таким множествам можно отнести прежде всего простые циклы и наибольший из них отметим вершинами СС , О, лежащими на пересечении границы с кривой вершин циклов (5.9), Точки У* и -У* также входят в множество {У: &- о] как точки покоя скользящих режимов. Теперь отметим уровень ТГ(у,,у*) = 1Г* , на котором находят-
ся точки ±У* и отметим точки г+ иГ пересечения этого уровня о границей кроме точек У* и -У*) . Покажем, что кри-
волинейный четырехугольник с вершинами У4 , 2~ ,(-У*) , и есть Сд -предельное множество, т.е.
2г?_{<а-’УО:и'Са„уО<уМУ1+Ьу<1*с] , (5.20)
1Х* = г>Чу,*, у*), с = +кё.
Действительно, в множестве {у; 1Г>ГГ*}Л Фг1 , состоящем из двух изолированных частей, лежащих строго по разные стороны диагонали У.У_ , производная ТГО (Ум. (5.16)} и нет целых тра-екторий, гдеио . Тогда по теореме 2.4 с учетом того, что траектории остаются в зоне , заключаем Офс[У; Ьг<11*}яФ.