Построение методов решения вырожденных задач на основе фактор анализа нелинейных отображений

• Автор: Брежнева, Ольга Артуровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

Список обозначений

1 Аппарат факторанализа нелинейных отображений

и его дальнейшее развитие

§ 1.1 Р-регулярные отображения

§ 1.2 Условие невырожденности второго дифференциала

§1.3 Модификация 2-фактороператора

§ 1.4 Свойства симметричных матриц

2 Методы решения вырожденных систем

нелинейных уравнений

§2.1 Алгоритм построения системы

линейно независимых векторов

§ 2.2 Процедура преобразования системы нелинейных уравнений
§2.3 Метод локализации особенности
§ 2.4 Первая модификация 2-факторметода
§ 2.5 Вторая модификация 2-факторметода
§ 2.6 О выборе метода решения задачи
3 Вырожденные задачи условной оптимизации
с ограничениями типа равенств
§3.1 Метод поиска нерегулярного экстремума
на основе модифицированного 2-фактороператора
§3.2 Построение метода с использованием
2-факторфункции Лагранжа
§ 3.3 Вычислительные аспекты применения методов
Заключение
Приложение
Литература

Список основных обозначений
V — квантор общности: ’’для всех”;
3 — квантор общности: ” существует” ; х Е А — элемент х принадлежит множеству А;
А х В — декартово произведение множеств А и В;
АВ = {а € А | а $ В} — разность множеств А и В
А С В — множество А содержится в множестве В;
{д | Р(х)} — множество элементов х, обладающих свойством Р;
F : X —> Y — отображение множества X в множество Y ;
М — множество вещественных чисел;
Мп — n-мерное арифметическое пространство;
Ш(т, п) — пространство вещественных матриц размерности т X п; £>R(n, п) — пространство симметричных вещественных матриц размерности т х п;
lin А — линейная оболочка множества А;
inf A (sup А) — нижняя (верхняя) грань чисел, входящих в множество Ас1;
|[х|| — норма элемента х в нормированном пространстве; р(х, L) — inf{[|x — у\у Е L} — расстояние от элемента х до подпространства L;
(и, V) — скалярное произведение векторов и и V в гильбертовом пространстве;
Мх — ортогональное дополнение линейного подпространства М в гильбертовом пространстве;
det А — определитель матрицы А;
rank А — ранг (максимальное число линейно независимых строк или столбцов) матрицы А;
corank А — т — г — коранг матрицы А Е Ш(т, п) при т < щ АТ — матрица, транспонированная к А

А* — матрица, псевдообратная к А;
С(Х,У) — пространство непрерывных линейных операторов, действующих из X в У (X и У — линейные нормированные пространства); отображения из пространства £(К’г,Ет) могут отождествляться с их матрицами относительно стандартных базисов в К" и Мт;
Кег Л = {х € X | Ах = 0} — ядро линейного оператора Л £ С(Х, У);
1т Л =й {у £ У | Зх £ X : у = Ах} — образ линейного оператора А € С(Х, У);
0,Р(Х, У) — пространство непрерывных отображений степени р, действующих из А' в У;
Я[хр — <5[ж, ..., ж] — действие отображения <5 6 (2Р(Х, У) на эле-

мент х 6 X;
Кег' <5 — {ж € X | х]г — 0 }; — г-ядро определенного на X отображения степени р (г < р);
Р£-■ оператор ортогонального проектирования на подпространство А;
ж* £ АГ — особая точка отображения У : АТ -У У или искомое решение вырожденной нелинейной задачи;
Р — ортопроектор на подпространство 1тР'(ж*) в Кт;
Р1 — ортопроектор на подпространство (1т Р'(х*))1- в Жт;
РА к — проекция элемента к на множество А;
Ср{и —>■ У) — класс отображений из С/ в У, р раз непрерывно дифференцируемых по Фреше всюду на множестве С/;
рМ(х) — г-ая производная Фреше отображения Р в точке ж;
{Р(р)(ж)}-1у = {/), 6 X | Р^(ж)[/*]р = у, у 6 У}, — обратное (в общем случае многозначное) отображение к отображению Р^(ж);
Т2(ж*) = (КегР'(ж*) П Кег2У "(ж*)} {0};
| — блочная матрица размерности (п + т) х (гг. + т), составленная из матриц А - размерности п х п, В - размерности п х т, С
А В С В

2) для любого набора индексов іі, ... ,гв Є {1, 2, ..., д) І < в < р векторы ф11 (х*), ..., (.ж*) линейно независимы тогда и только тогда, когда
р{Ск{х),Ь1к{х))>\ц{х)\1'Е Ук = 1,2, в, Ух Є 11, (2.14)
где Ьк(х) определяется в соответствии с (2.2);
3) для любого набора индексов г, ..., г* Є {1, 2, ..., д}, 1 < А; < р
такого, что векторы £ч(х*), ..., £гДж*) линейно независимы, и любого индекса г^+і Є {1,2 д}{Д .. •, г*} имеет место следующее утверждение: вектор £1к+1 (х*) составляет линейно зависимую систему с векторами £п(ж*), ..., £ч(х*) тогда и только тогда, когда выполнено неравенство
р(Ск+Ліх),ііп{£гі(ж) Ск(х)}) < (^(ж)]!1“2 Ух є и.
Доказательство. Докажем утверждение 1) леммы. Зафиксируем произвольное £ Є (0,1) и произвольный индекс і Є {1, 2, ..., д).
Необходимость. Согласно формуле Тейлора для некоторой окрестности и" ТОЧКИ X* в Е" имеем
С(х) = С{х*)+си{х) Ух Є и”,
где ||сДж)|| < Сі || ж — Ж* || Ух Є и", С > 0 — некоторое число.
Отсюда, если £*(ж*) = 0, получаем, что существует окрестность С С си'П и" такая, что
ІІГМІІ < с,|| X- і*ц < уікеи < V! є
Достаточность. Предположим противное, что выполнено (2.13), но при этом £*(ж*) ф 0. Тогда в силу (2.11) существует окрестность V' С II такая, что выполняется неравенство
|Д'(ж)|| > ||д(ж)||1_£ Ухеи'.