Квадратурные формулы для гиперсингулярных интегралов и численное решение гиперсингулярных интегральных уравнений

• Автор: Лифанов, Павел Иванович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 132 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ПЛОСКИХ КРИВЫХ
1.1. Задача Неймана для уравнения Лапласа в плоском случае.
Сведение ее к гиперсингулярному интегральному уравнению
1.2. Гиперсингулярный интеграл на отрезке
1.3. Гиперсингулярное интегральное уравнение на отрезке
1.4. Гиперсингулярный интеграл на окружности
1.5. Гиперсингулярное интегральное уравнение на окружности
ГЛАВА 2. ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ И
ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НА СФЕРЕ
2.1. Задача Неймана для уравнения Лапласа в пространственном случае. Сведение ее к гиперсингулярному интегральному уравнению
2.2. Преобразование ядра гиперсингулярного интеграла на
сфере. Некоторые спектральные соотношения
2.3. Квадратурные формулы. Равномерная сходимость вне окрестности полюсов
2.4. Численное решение гиперсингулярного интегрального
уравнения на сфере
2.5 Исследование влияния сдвига расчетных точек в методе дискретных замкнутых вихревых рамок на результаты
вычислений
ГЛАВА 3. ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ И
ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НА ТОРЕ
3.1. Параметрическое представление тора. Преобразование ядра
гиперсингулярного интеграла на торе
3.2 Квадратурные формулы. Равномерная сходимость по всем
расчетным точкам
3.3. Численное решение гиперсингулярного интегрального уравнения на торе
ГЛАВА 4. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЙ ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
4.1 Классическое определение двумерного сингулярного
интеграла на плоскости
4.2. Обобщение классического понятия двумерного
сингулярного интеграла на плоскости
4.3. Обобщение понятия двумерного гиперсингулярного
интеграла на плоскости
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Теория сингулярных интегральных уравнений, как указано в [24], начала развиваться почти непосредственно вслед за возникновением классической теории интегральных уравнений Фредгольма в работах А. Пуанкаре и Д. Гильберта [34,38]. Однако долгое время теория этих уравнений находилась в тени и только необходимость исследования плоских задач теории упругости и гидродинамики вызвала бурное ее развитие, которое было подытожено в двух монографиях [6,24]. Параллельно проблемы моделирования задач в аэродинамике и гидродинамике привели к необходимости численного решения сингулярных интегральных уравнений.
Наиболее ранней работой (1932 г.) в этом направлении является работа М.А. Лаврентьева [17], в которой дано численное решение сингулярного интегрального уравнения для обтекания тонкого профиля, основанное на полигональной аппроксимации решения, предвосхитившую в частном случае общую схему методов типа Ритца-Галеркина. В 1938 году появилась работа Мультхоппа [37], в которой решение одномерного сингулярного интегрального уравнения на отрезке представляется в виде произведения гладкой функции и весовой функции, определяющей особенности решения на концах. Такая функция раскладывается в ряд по полиномам Чебышева первого рода, а правая часть уравнения раскладывается в ряд по полиномам Чебышева второго рода. С помощью спектрального соотношения для соответствующего сингулярного оператора между этими полиномами составляется система линейных алгебраических уравнений для коэффициентов этого ряда. Однако такой подход не удалось распространить на двумерные сингулярные интегральные уравнения, к которым сводится пространственная задача обтекания поверхностей.
В начале пятидесятых годов С.М. Белоцерковский предложил [2] метод численного решения одномерных и двухмерных сингулярных интегральных уравнений указанного выше типа (метод дискретных вихрей). С математической точки зрения такой подход является методом коллокации численного решения син1улярных интегральных уравнений на основе применения специальных квадратурных формул типа прямоугольников к соответствующим сингулярным интегралам.
С другой стороны, сингулярные интегральные уравнения, к которым сводятся задачи обтекания поверхностей идеальной несжимаемой жидкостью, являются граничными уравнениями для

решения задачи Неймана для уравнения Лапласа при ее решении с помощью потенциала двойного слоя. В этом случае неизвестной функцией является градиент плотности потенциала двойного слоя.
В плоских задачах, при обтекании контура, плотность потенциала двойного слоя является функцией одной переменной и поэтому градиент плотности потенциала двойного слоя имеет одну составляющую. Эта составляющая имеет удобную физическую интерпретацию как интенсивность распределенного вихревого слоя, которым моделируется обтекаемый контур в задачах аэродинамики.
В пространственных задачах, при обтекании поверхности, плотность потенциала двойного слоя является функцией двух переменных и поэтому ее градиент имеет две составляющие. Так как эти составляющие не являются независимыми функциями, то получающиеся алгоритмы численного решения пространственных задач обтекания методом дискретных вихревых отрезков имели очень сложную структуру даже для простых поверхностей, лежащих в плоскости [5]. Поэтому в работе [19] было предложено в качестве неизвестной функции брать плотность потенциала двойного слоя и сводить задачу Неймана для уравнения Лапласа к гиперсингулярному интегральному уравнению относительно этой плотности. Решение этого гиперсингулярного интегрального уравнения с помощью специальных квадратурных формул типа прямоугольников получило название метода дискретных замкнутых вихревых рамок [4,18]. Этот метод быстро получил широкое распространение в задачах аэродинамики, часть которых была опубликована в книгах [3,33].
Остановимся более подробно на вопросе, почему в аэродинамике оказалось более удобно решать задачи обтекания идеальной несжимаемой жидкостью замкнутых и разомкнутых контуров (поверхностей) в плоском (пространственном) случае с помощью потенциала двойного слоя. Действительно, указанные задачи обтекания с математической точки зрения являются задачами Неймана для уравнения Лапласа. Традиционно [31] задача Неймана, когда граничная кривая (поверхность) является замкнутой, решалась с помощью потенциала простого слоя и сводилась к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Однако, если граничная кривая (поверхность) является разомкнутой, то задачу Неймана необходимо решать с помощью потенциала двойного слоя, так как его нормальная производная непрерывна [31] при переходе через граничную кривую (поверхность). Поэтому, с точки зрения единообразия, при решении задачи Неймана для уравнения Лапласа для замкнутых и разомкнутых граничных кривых (поверхностей) лучше использовать потенциал двойного слоя. С другой стороны, в

= 2сЩ -°-л І - 2сі%
0. (1.4.3)
Теперь для интеграла (1.4.2) по определению будем полагать:

0 ЯП'
0.-0 =ЙЇ
сЛ СІП - У
[0,2лг]О«%,*) вІП'
(1.4.4)
Аналогично теоремам 1.1 и 1.2 доказываются следующие теоремы.
Теорема 1.6. Интеграл (1.4.4) существует для любой периодической функции £(#), принадлежащей классу Я, (а) на [0,2л-].
Теорема 1.7. Пусть функция £(0) - 2л-периодическая и принадлежит классу Я, (а) на [0,2л]. Тогда для интеграла (1.4.2) справедлива следующая формула интегрирования по частям:

(1.4.5)
Обратимся теперь к рассмотрению квадратурных формул для интеграла (1.4.2). По аналогии с квадратурной формулой для гиперсингулярного интеграла на отрезке поступим следующим образом. Пусть множества Е = {вк,к. = ,...,п+) и Е0 = {в0к,к = ,...,п} образуют каноническое разбиение отрезка [0,2л] (Рис. 1.4.2). Тогда заменим интеграл (1.4.2) в точке вйj е Е0 следующей суммой:

О ■ 2 *0,-
вк 81П
= 2 $>(0М)
@0 , @к+
(1.4.6)

Теорема 1.8. Пусть функция g(0)- 2л -периодическая и принадлежит классу Я, (а) на [0,2л]. Пусть множества точек Е и £0 образуют каноническое разбиение этого отрезка. Тогда справедливо неравенство:

1 вігі
-2£&(0м)