Нахождение матрицы отклика линейной динамико-стохастической системы

• Автор: Мартынов, Роман Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Глава 1. Дискретная динамико-стохастическая система
1.1 Линейная дискретная система
1.2 Приближенная матрица отклика
1.3 Приближенная матрица отклика в подпространстве
1.4 Формулировка основных теорем
1.5 Доказательства
1.5.1 Вспомогательные леммы
1.5.2 Доказательства теорем
1.6 Алгоритм вычисления приближенной матрицы отклика
1.6.1 Вычисление матрицы отклика в режиме накопления
1.6.2 Вычислительные затраты
1.7 Численные эксперименты
1.8 Выводы по Главе
Глава 2. Непрерывная динамико-стохастическая система
2.1 Система с непрерывным временем
2.2 Сведение непрерывной задачи к дискретной
2.3 Диагональный случай
2.3.1 Решение уравнения Фоккера-Планка в диагональном случае
2.3.2 Вычисление следов матриц С и О
2.3.3 Оценка констант теоремы
2.3.4 Пример с оператором Лапласа
2.4 Численные эксперименты
2.5 Замечания по полученным оценкам
2.6 Выводы по Главе
Глава 3. Эксперименты с баротропной моделью атмосферы
3.1 Свойства модели, подход к задаче
3.2 Оператор линеаризованного уравнения баротропного вихря
3.3 Постановка численных экспериментов
3.4 Результаты численных экспериментов
3.5 Выводы по Главе
Заключение
Приложения
Приложение 1. Программная реализация в МАТЬАВ алгоритма
нахождения приближенной матрицы отклика
Приложение 2. Оценка второй нормы степеней матрицы
Литература

Нахождение оператора отклика на внешнее воздействие по заданному ряду наблюдений, сгенерированному линейной динамико-стохастической системой, является важной задачей, встречающейся во многих приложениях, в том числе, при исследовании нелинейных систем.
Например /25, 45/, линейные динамико-стохастические системы могут быть успешно использованы для описания низкочастотной составляющей изменчивости атмосферы /4, 16, 30/. В работах /8, 13, 29/ показано, что для многих климатических моделей, являющихся диссипативными системами, применима Флуктуационно-Диссипативная Теорема (ФДТ), доказанная для регулярных систем /10, И/, при условии, что у климатической системы имеется аттрактор /9/ и ее поведение хаотично и имеет большое число степеней свободы. ФДТ соотносит оператор отклика системы на бесконечно малое воздействие со статистическими характеристиками системы /31, 32/ и позволяет вычислить оператор отклика по траектории невозмущенной системы. При выполнении еще некоторых дополнительных условий, накладываемых на климатическую модель, отклик системы на небольшие внешние возмущения становится линейным относительно возмущения /6, 17/.
Все известные методы, используемые для нахождения оператора отклика по конечному ряду наблюдений, который генерируется исходной линейной динамико-стохастической системой, имели по крайней мере один
q = —1. Тогда
МС) < 4’ *Г(Я) - А»
7Г 7Ы
а для констант ст и drn из теоремы 2 согласно лемме 7 будут справедливы следующие неравенства:
1 + е-2/2 т2
ст < 10V3
dm < 60-
(1 _ е-"2)3/2(1 — e-r7r2P) 1 — е-2т,г2от’ (1 + е-Т7г2/2)2 т2
(1 - е~г,г2)3(1 - е~Г7г2Р) 1 - е-2тж2т'
2.4. Численные эксперименты
В этом разделе тестируется качество оценки (1.13) для дискретной системы, полученной из непрерывной в случае, когда А - конечномерная модель одномерного и двумерного операторов Лапласа, рассмотренных в предыдущем разделе.
Численные эксперименты ставились следующим образом. Матрица В бралась равной
Bjj = ехр(тщ).
В случае одномерного оператора Лапласа aj = —n2j2, а в случае двумерного оператора Лапласа aj - упорядоченные по неубыванию элементы множества {—я2(к2 +12)}, где к и / пробегают все положительные целые значения. Диагональные элементы матрицы Gq в одномерном случае выбирались равными 1, а в двумерном уj — l/j. Для ряда векторов uNl,uN2 (ряд наблюдений), сгенерированных системой (1.3) с матрицей В, вычислялись матрицы W и VU* . Далее выполнялось сингулярное разложение матрицы W с помощью пакета LAPACK /12/ и формировались матрицы