Неконформный метод конечных элементов для трехмерных уравнений Ламе

• Автор: Калинкин, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 120 с.

Глава 1 Аппроксимация неконформными элементами
1.1 Формулировка исходной задачи
1.2 Д искре гизация
1.3 Сеч очное неравенство Корна
1.4 Анализ сходимости
1.5 Влияние стабилизирующего функционала
1.6 Численный эксперимент
Глава 2 Переобусловливание сеточных уравнений
2.1 Неконформная аппроксимация трехмерной
задачи упругости
2.2 Эквивалентность энергетической и градиентной
сеточных норм
2.3 Диагонализация матриц при нормальных и
касательных перемещениях
2.4 Переобусловливатель с внутренними
чебышевскими процедурами
2.5 Численные эксперименты

Глава 3 Экстраполяция по параметру в возмущенной вариационной задаче в смешанной постановке
3.1 Предварительные сведения
3.2 Экстраполяция но параметру регуляризации
3.3 Приложение к краевым задачам
3.4 Численные примеры
Заключение
Литература

Современные приложения имеют дело, как правило, с трехмерными математическими моделями, включающими комплексное описание целого ряда физических процессов. Такие модели содержат уравнения разных типов (эллиптические, параболические, гиперболические). Ярким примером такой модели является математическое описание процесса электромиграции атомов при функционировании устройств микроэлектроники - одновременно решаются эллиптические уравнения электростатики, стационарной теплопроводности, упругости и параболическое уравнение диффузии атомов. Другим характерным примером являются задачи двухфазной филырации несжимаемых жидкостей, описывающих, например, процессы вытеснения нефти водой при эксплуатации нефхяных пластов. При этом часто основным 11 пере датчиком" информации между уравнениями является не само поле, а е! о градиент. В связи с этим, наряду с экономичностью и точностью алгоритмов, важную роль приобретает проблема эффективного согласования уравнений друг с другом.
Указанная выше проблема может быть эффективно решена в рамках метода конечных элементов (МКЭ) с использованием неконформных элементов. Данная диссертация посвящена построению и исследованию неконформных конечных элементов нового типа для решения трехмерных уравнений Ламе. Основное достоинство предлагаемых элементов со-

равенства (1.4.27), которое аналогично второму слагаемому можег быть представлено в виде
Х^ J(г(йт)пт-ятс1е= ^2 J(ëe-Pege)^Ыede+ ^2 Peëe^JЫede,
е£ЕоиЕо
где Ке = <т(йе)пе. Для первого слагаемого в правой част последнего равенства согласно неравенству (1.4.19) имеет место оценка
X] J{ëe-Реёе) ^[zede
< с' К Нхп^й|н2(П)
Тогда из теоремы 1.4.1 и неравенства (1.4.24) следует, что
< с к2 /г2 II /||ь2(П)|| г||ь2(п) • (1 4.31)
X] (ёе -Реёе) • [ъе<1е Е£ои£У> е
И наконец, согласно (1.2.17)
Х^ реёе • [[z}ede = - Х^ реёе • [[и{2)]ede = еб£с>и £и е е&£пи£о е
Таким образом, оценивая правую часть равенства (1.4.27) при помощи
неравенств (1.4.29)-(1.4.31), приходим к требуемой оценке (1.4.25).
Теорема доказана.
Замечание 1.4.3 Требование Гр = является необходимым условием регулярности решения вспомогательной задачи. Для смешанных краевых условий решение теряет гладкость в окрестное 1И смены краевых условий, т.е. в эюм случае найдется правая часть из Г^О) такая, что й §£ Н2(0).