Эффективные вычислительные алгоритмы решения задач асимптотической стабилизации и управления

• Автор: Озерицкий, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с.

Глава 1. Математические основы методов стабилизации

1.1 Постановка задачи

1.1.1 Окрестность стационарной точки

1.1.2 Окрестность нестационарной точки

1.1.3 Проектирование вдоль подпространства £

1.2 Вычислительная устойчивость алгоритмов

1.2.1 Окрестность стационарной точки

1.2.2 Окрестность нестационарной точки

1.3 Выводы по Главе

Глава 2. Практическая реализация численных алгоритмов

2.1 Стационарный случай, проектирование вдоль Р+Н

2.1.1 Базовый алгоритм
2.1.2 Алгоритм со склейкой
2.1.3 Параллельная модификация алгоритма
2.2 Нестационарный случай
2.2.1 Метод склейки
2.2.2 Параллельная реализация
2.3 Проектирование вдоль подпространства С
2.4 Решение задачи стабилизации в случае неизвестного оператора линейной части
2.5 Вычисление инвариантных подпространств оператора L
2.6 Выводы по Главе
Глава 3. Расчетные задачи
3.1 Модель Лоренца
3.2 Задача Чафе-Инфанта
3.3 Модель баротропного вихря на сфере
3.4 Выводы по Главе
Глава 4. Результаты расчета
4.1 Сравнение скорости работы различных алгоритмов
4.2 Стабилизация с приближенно-вычисленными операторами
проектирования
4.3 Стабилизация на мелких сетках
4.4 Модель баротропного вихря на сфере
4.5 Выводы по Главе
Заключение
Приложения
Программная архитектура
Библиотеки
Литература

В задаче стабилизации и управления рассматривается некоторая физическая система, Её математическая интерпретация (модель) задается с помощью понятия полудинамической системы и описывается с помощью оператора эволюции £(£, •). Рассматривается по крайней мере два варианта поведения системы, называемых в дальнейшем траекториями, одно из которых является для нас идеальным, а второе - наблюдаемым. Необходимо как-то повлиять на систему извне, чтобы наблюдаемое поведение стало “похожим” на идеальное. Критерий и степень “похожести”, а также временной промежуток, на котором эта “похожесть” достигается, могут определяться по-разному и в общем случае это зависит от конкретной формулировки задачи, В данной работе за основу брался размер отрезка времени на котором траектории сближаются, а также расстояние между траекториями в начальный и конечный моменты времени. Также могут различаться способы воздействия на систему, с помощью которых достигается требуемое поведение. Так как многие задачи стабилизации и управления для уравнений математической физики сводятся к задачам, в которых изменяют только начальные данные, то в качестве способа управления системой брался метод управления по начальным данным. В работе построены и обоснованы эффективные прикладные алгоритмы решения данной задачи, которые могут применяться для сложно-заданных полудинамических систем. С помощью построенных методов исследована возможность стабиРис. 2.2. Параллельный алгоритм
//2
skleika(l,0,xl,y,n-l,N,level);//вычисляем (n-l)’e приближение
//З
PMS(у1,xl,у); //проекция оператора S на Y PPS(x2,xl,y); //проекция оператора S на X
//4
skleika(I,0,xx,yl,n-l,N,level+l);//проекция оператора S на ось X хЗ=хх-х2;
//5
PPL_l(xx,x3);/знаходим проекцию оператора обратного к L на X*
х=хх+х1;
О [level, п]=х;/*отмечаем, что элемент посчитан и сохраняем ответ*
Численные расчеты показали, что результаты расчета /"(•) полученные с помощью базового алгоритма и алгоритма со склейкой полностью совпадают.
2.1.3. Параллельная модификация алгоритма
Рассмотрим множество точек {ук = Ьк(уо)},к — 0 п. Заметим, что у к будут сходиться к 2о,так как У к лежат в устойчивом подпространстве оператора Ь. Будем последовательно искать значения приближения /т(ук)