Вопросы теории и вычислительные применения сплайнов и вейвлетов

• Автор: Певный, Александр Борисович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 270 с. : ил

Содержание
Введение
Глава 1. Дискретные непериодические сплайны
§ 1. Дискретные В-сплайны
§ 2. Дискретные сплайны и интерполяция
по равноотстоящим узлам
§ 3. ТВ-сплайны и двойственные к ним сплайны
§ 4. Основы сплайн-вейвлетного анализа
§ 5. Декомпозиция и реконструкция сигналов
Глава 2. Вейвлетное преобразование Ваттерворта и
его реализация с помощью рекурсивных фильтров
§ 1. Вспомогательные сведения о дискретных сплайнах
§ 2. Лифтинговый алгоритм декомпозиции и
реконструкции сигналов
§ 3. Рекурсивная реализация лифтингового алгоритма
§ 4. Вычисление вейвлетов ф и (р
§ 5. Многоуровневое вейвлетное преобразование
§ 6. Ортогональность сдвигов ф1 и д
§ 7. Вейвлетное преобразование Ваттерворта для
конечных сигналов
§ 8. Тензорное произведение базисов
§ 9. Вейвлетное преобразование Ваттерворта для
изображений
Глава 3. Дискретные периодические сплайны:
сверточная природа и приложения
§ 1. Рекуррентное определение дискретных
периодических В-сплайнов
§ 2. ДПФ и интерполяция дискретными
сплайнами
§ 3. Некоторые вспомогательные соотношения
§ 4. Решение задачи сглаживания
дискретных данных
§ 5. Решение задачи о бесконечной
цилиндрической оболочке
§ 6. Ортогональный базис в пространстве
дискретных периодических сплайнов
§ 7. ТВ-сплайны и самодвойственный вейвлет

Глава 4. Лифтинговые схемы для вейвлетного преобразования
дискретных периодических сигналов
§ 1. Биортогональные вейвлетные схемы
§ 2. Лифтинговый алгоритм получения коэффициентов
разложения в интерполяционном случае
§ 3. Вейвлетное разложение
пространства сигналов
§ 4. Биортогональная вейв летная схема,
основанная на интерполяции
дискретными сплайнами
§ 5. Алгоритм декомпозиции сигналов,
основанный на рекурсивных фильтрах
Глава 5. Натуральные сплайны
многих переменных
§ 1. Общая задача о натуральных сплайнах
§ 2. Задача оптимального восстановления
функционала на классе элементов
§ 3. Сплайновые алгоритмы,
их оптимальность и центральность
§ 4. Фундаментальное решение полигармонического уравнения и теорема С.Л. Соболева о плотности
финитных функций
§ 5. Натуральные сплайны, заданные
на всем пространстве
§ 6. Сглаживание данных при помощи
натуральных сплайнов
§ 7. Численные методы решения
задачи сглаживания
§ 8. Степенные сплайны
§ 9. Логарифмические сплайны
§ 10. Сферические натуральные сплайны
Литература

Введение
В работе исследуются дискретные вейвлеты и дискретные вей-влетные преобразования, построенные на основе теории дискретных сплайнов. Изложение ведется в двух вариантах - непериодическом (главы 1 и 2) и периодическом (главы 3 и 4). Несколько особняком стоит глава 5, посвященная натуральным сплайнам многих переменных. Некоторые темы, например сглаживание данных, рассматриваются в главах 3 и 5 на одной и той же идейной основе.
Вейвлетный анализ сигналов лежит на пересечении чистой математики, вычислительной математики, цифровой обработки сигналов и изображений. Он находит все более широкое применение в различных областях науки, так как дает более подробную информацию о сигнале или изображении, чем обычный анализ Фурье. Такую мысль высказывают многие авторы обобщающих работ по вейвлетам (Н.М. Астафьева [1], И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин [64, 65], А.П.Петухов [79]).
Вейвлетные разложения очень удобны для приближенных вычислений, поскольку количество операций, необходимых для вычисления коэффициентов разложения, пропорционально количеству отсчетов сигнала. То же самое можно сказать о трудоемкости реконструкции сигнала по его вейвлетным коэффициентам.
Это делает вейвлетные разложения очень популярными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений; для сжатия больших объемов информации.
Назовем имена математиков внесших существенный вклад на предшествующих этапах развития теории сплайнов и вейвлетов. Развитию теории полиномиальных сплайнов и их популяризации содействовали труды И. Шенберга [126, 127, 128], С.Б. Стечкина, Ю.Н. Субботина [89], Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л. Мирошниченко [35], В.Н. Малоземова [52].
Задаче сглаживания сплайнами посвящены работы К. Райнша [123, 124], Ю.Е. Воскобойникова, Н.Г. Преображенского, А.И. Се-дельникова [20], В.В. Вершинина, Ю.С. Завьялова, Н.Н. Павлова [15], В.Н. Малоземова [54].
Пт-сплайны и сплайны в гильбертовом пространстве исследовались в работах Ж. Дюшона, Т. Гудмана, Р. Франке, П.-Ж. Лорана,

Напомним также обозначение (А, £) = жгб + ■. * + хп£п для скалярного произведения векторов X, £ е К“.
Теорема 19. Пусть /3 = 2г + а, 0 < а < 2, г = 0,1, 2,... Для любого д € Пг справедливо равенство
53Лке'

4 = (-1)г+1с^ 53 йДк\Х, - ЛІН* (89) І»^=
положительная константа.
где г = 1/—1,
4) В § 9 развивается аналогичная теория для логарифмических сплайнов. Разрешимость интерполяционной задачи для логарифмических сплайнов доказывается с помощью следующего интегрального тождества.
Пусть г, п — натуральные числа.
Теорема 20. ЗафиксируемАД..., А'дг — попарно различные точки из К". Для любого (I = (ф,..., фу) из подпространства

справедливо равенство

: 534<3№) = о у«5єтЛ *;=! )

53 ^е'{

(-1)г+1Ст 53 «ЗДЯ) - Хь||2г 1п ЦАТ,- - Х*||,
еде Сруї

положительная постоянная.

5) В §10 рассматриваются натуральные сплайны, заданные на сфере. Натуральные сферические сплайны рассматривались в работе В. Фридена [149]. Они имеют приложения к задаче аппроксимации гравитационного потенциала Земли. В §10 рассматривается новый вариант натуральных сферических сплайнов.
Длину вектора £ = (4,6,6) обозначим |£| = Вв&-
дем единичную сферу П = {£ : |£| = 1}. Пусть в точках ще П