Внутренние эллипсоидальные оценки в задачах динамики и управления

• Автор: Важенцев, Андрей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание н

Список обозначений

1 Внутреннее оценивание пересечения эллипсоидов при помощи линейной свертки квадратичных форм

1.1 Формализация методов оценивания

1.2 Линейная свертка квадратичных форм и ее использование в оценивании пересечения

1.3 Связь методов оценивания пересечения и объединения

1.4 Численная реализация методов оценивания

1.5 Эллипсоидальное решение задачи синтеза управления при ограниченных координатах

2 Классификация пересечения эллипсоидов

2.1 Основные определения

2.2 Множество 0о

2.3 Множество ©1
2.4 Множество ©1
2.5 Множество 0"
2.6 Классификация
3 Недоминируемые внутренние оценки пересечения эллипсоидов

3.1 Достаточное условие недоминируемости
3.2 Внешнее оценивание объединения (концентрический случай)
3.3 Внешнее оценивание объединения (случай осевой симметрии)
3.4 Внутреннее оценивание пересечения
Заключение
Библиография

Исследование динамических систем с неопределенностью является одним из наиболее востребованных направлений современной математической теории. Особое внимание уделяется проблемам оценивания в задачах управления и наблюдения. Результаты, полученные в этом направлении, находят приложения в различных областях человеческой деятельности, таких как автоматизация, робототехника и телекоммуникация. Классические задачи оценивания основаны на предположении, что вероятностные возмущения параметров системы известны, или по крайней мере известны их статистические характеристики, такие как математические ожидания или ковариационные матрицы. Однако, во многих приложениях статистическое описание не является полным или адекватным в силу отсутствия достаточного количества экспериментальных данных или их статистической неустойчивости. По этой причине, начиная с 60-х годов прошлого столетия, в рамках теории гарантированного оценивания развивается альтернативный подход, связанный с предположением об ограниченности неопределенных параметров модели некоторыми известными множествами. Разработка основ теории связана с именами H.H. Красовского [11], А.Б. Куржанского [12], X. Витзенхаузена [52], Ф. Швеппе [48], Д. Бертсекаса и И. Родэса [23]. Дальнейшее развитие данный метод получил в работах [18, 31, 38, 41] и многих других. В последнее время также проявляется интерес к моделям со смешанной неопределенностью [5] и почти произвольными помехами [4].
Отметим, что в рамках направления гарантированного оценивания, используя теорию множеств, выпуклый и многозначный анализ, зачастую удается получить точные аналитические описания множеств возможных состояний изучаемой системы. Однако, как правило, эти множества имеют очень сложную структуру. Поэтому не меньший интерес вызывает задача построения для них гарантированных, то есть внутренних или

Построим последовательность {>У[А:] € Е„}*’ , используя следующее уравнение
Ш1(к) 6 Ег-( ИОД ,}>(*))> * е [*0,*а]
' ЙОД = Л'Ч*) • 5“ №)( ИОД+ 1],-?(*)), и2(к) <Е Е5~(УУ[А: + 1]) -7>(*)), А: £ [&о,&1 — 1]
. ЙОД]
(1.33)
Теорема 1.3. Последовательность эллипсоидов {ИОД}£Цо, определяемая уравнением
(1.33) в случае МОД Ф 0, к € [Ад,^], удовлетворяет включению
ПОД С УУОД, Ае[Ао,А1]
Доказательство. Докажем по индукции. Очевидно, что ИОДх] С Л4 = ИОДОД. Сделав предположение о том, что ИОД + 1] С Уд*[к + 1], из уравнения (1.33) непосредственно
Очевидным недостатком предложеного решения является то, что последовательность эллипсоидов ИОД может выродиться в пустое множество раньше, чем оцениваемое множество разрешимости.
Далее производится построение эллипсоидальной стратегии
Теорема 1.4. Пусть последовательность эллипсоидов ИОД, задаваемая уравнением
(1.33) такова, что ИОД ф 0 для всех к 6 [&0, к(. Тогда множество ИОДо] и стратегия Ы(к,х), к & [&о, к — 1], определяемая соотношением
получим включение
ИОД С у (к) п А-к)(Уд*[к + Т]-Г(к)) = Уд*[к],
которое завершает доказательство.

ИОД + 1] — А(к)х), если х 6 ИОД
I 0>
иначе
(1.34)
шз(к,х) е 121~(Р(к), ИОД + 1] - А(к)х), А; €
решают задачу синтеза управления на терминальное множество М.