Численные методы решения задач тепловой конвекции на основе уравнений Навье-Стокса

• Автор: Протопопова, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 89 с.

Содержание
Введение

Глава
РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРИ ПОНИЖЕННОЙ ГРАВИТАЦИИ
1.1 Математическая формулировка задачи
1.2 Разностная краевая задача
1.3 Общий алгоритм решения задачи
1.4 Численные расчеты
Глава
МОДИФИКАЦИЯ ДВУХПОЛЕВОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ
2.1 Математическая формулировка задачи
2.2 Одномерная модельная задача
2.3 Уравнения Стокса
2.3.1 Разностная начально-краевая задача
2.3.2 Алгоритм решения системы разностных уравнений .
2.3.3 Устойчивость разностной схемы
2.3.4 Примеры тестовых расчетов
2.4 Уравнения Навье - Стокса
2.4.1 Разностная начально-краевая задача
2.4.2 Алгоритм решения и устойчивость
2.4.3 Результаты расчетов

2.5 Методы обращения матриц С/
2.5.1 Метод
2.5.2 Метод
Глава
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СХЕМ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
3.1 Разностная начально-краевая задача
3.2 Алгоритм решения системы разностных уравнений
3.2.1 Решение разностного уравнения для функции тока .
3.3 Устойчивость разностной схемы
3.4 Результаты расчетов
Заключение
Литература

Введение
Известно, что в неравномерно нагретой жидкости возникает движение. Если жидкость не имеет свободных (жидкость — газ) или внутренних (жидкость — жидкость) границ раздела, основная причина явления состоит в том, что более холодная жидкость, которая обычно тяжелее, тонет в поле силы тяжести. Движение, вызванное этой причиной, называется тепловой гравитационной конвекцией. Обычно для его описания используется система уравнений Обербека - Буссинеска [23, 28], которая выводится из общих уравнений Навье - Стокса сжимаемой жидкости в предположении, что плотность жидкости не зависит от давления, но может зависеть от температуры. Предполагается также, что вызванные неоднородностью температуры отклонения плотности от среднего значения настолько малы, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения, где это отклонение учитывается лишь в члене с подъемной силой. Система уравнений конвекции мало отличается от системы уравнений Навье - Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Численные схемы для изучения конвективных течений сохраняют все особенности схем для уравнений однородной несжимаемой жидкости и содержат некоторые дополнительные особенности.
Уравнения Навье - Стокса, составляющие основу уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые проявляются в их численной реализации:
• одной из особенностей является пространственно-эллиптический ха-

Уравнения (2.2.7) не замкнуты и их решение зависит от двух параметров. Обозначим эти параметры шх, тогда решение системы можно представить в виде
иф+1 = и+Х + а,- СТ1 + Д Ъ72, (г = 0,(2.2.9) Если выбрать в качестве параметров значения о$+1 и си”+1, то неиз-
о 71+1 , .
вестные сог , «г, Д в силу линейности системы (2.2.6) определяются путем решения следующих задач:
о 71Д1 ~ о 71+1 о П+
Ь =ш1 =0; (2.2.10)
Ьах = 0, ао = 1, от/= 0; (2.2.11)
ЬД = 0, Д-0, Д-1. (2.2.12)
Системы уравнений (2.2.10)—(2.2.12) при условиях (2.2.8) эффективно решаются методом прогонки. Следует учесть, что одномерные векторы-столбцы а = {аДД,1. /3 = { Д}Д/ не зависят от индекса п и определяются вне цикла по времени.
Для аппроксимации уравнения (2.2.2) используем следующую разностную схему:
Л2 ФГ1 + Чп+1 =0, (г - 1,...,/- 1). (2.2.13)
Система уравнений (2.2.13) замыкается с помощью граничных условий
ф%+1 = фр1 = 0. (2.2.14)
Представление (2.2.9) подставим в правую часть (2.2.13):
Лх ф”+1 — — + — а, — Д П72. (2.2.15)