Двухслойный итерационный метод решения обратной задачи определения диэлектрической проницаемости тела в волноводе

• Автор: Васюнин, Денис Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 101 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Задача определения диэлектрической проницаемости образа материала
1.1 Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла
1.2 Тензорная функция Грина прямоугольного волновода
1.3 Объемное сингулярное интегральное уравнение
1.4 Задача определения диэлектрической проницаемости образца материала
2. Двухслойный итерационный метод определения диэлектрической проницаемостей неоднородного анизотропного тела
2.1 Формулировка двухслойного итерационного метода определения тензорной диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала
2.2 Теоремы о разрешимости обратной задачи и о сходимости итерационного метода
2.3 Вычисления по двухслойному итерационному методу
3. Метод коллокации для решения интегро-дифференциального уравнения на первом слое в итерационном методе
3.1 Метод коллокации
3.2 Метод коллокации для решения интегро-дифференциального уравнения на первом слое
3.3 Формирование матрицы коэффициентов в методе коллокации
4. Особенности реализации и тестирования итерационного метода
4.1 Параллельный алгоритм формирования матрицы
4.2 Аналитические решения в частных случаях для задач дифракции
5. Вычислительная сходимость и тестирование итерационного метода
5.1 Анализ вычислительной сходимости метода
5.2 Результаты расчетов определения диэлектрической проницаемости образца материала и сравнение с аналитическими решениями
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является актуальной задачей нанотехнологии и наноэлектроники. Однако эти параметры, как правило, недоступны для экспериментального измерения (ввиду композитного характера материалов), что приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно с помощью компьютеров. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке. Решение таких задач является в настоящее время одной из самых актуальных проблем в электродинамике и с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует очень большого объема вычислений, что зачастую невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Особенно остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе поверхностей и тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур. Многочисленные дорогостоящие пакеты прикладных программ для решения задач электродинамики (Апз18, (Зшкшауе и т.д.), имеющиеся на рынке программных продуктов, не используют кластерных технологий, решают задачу традиционными конечно-разностными методами или методами конечных элементов и не дают удовлетворительных по точности результатов.
При решении краевых задач в неограниченных областях конечноразностные методы и методы конечных элементов встречают принципиальные трудности: область, в которой решается задача, должна быть сделана конечной. Такая редукция области приводит к появлению неконтролируемой ошибки, причем размеры области для ее уменьшения должны быть достаточно велики. Конечно-разностные методы и методы конечных элементов в такой ситуации обычно приводят к очень большим, но разреженным матрицам (порядка 109 и
более). В качестве альтернативного метода решения задач в неограниченных

областях применяется метод интегральных или интегродифференциальных уравнений. В этом случае задача сводится к интегральному или интегродифференциальному уравнению в области неоднородности, которая но размерам существенно (на порядки) меньше области решения задачи в случае применения конечно-разностных методов и методов конечных элементов. После дискретизации получается конечномерная система уравнений с плотной (заполненной) матрицей. Таким образом, второй путь приводит к необходимости решать системы уравнений с плотными матрицами, но существенно меньших порядков (103-104).
Существует ряд алгоритмов и пакетов прикладных программ, реализующих процедуру численного решения интегральных или интегродифференциальных уравнений. Однако, при этом, во-первых, не учитываются последние достижения в области исследования таких классов уравнений и численных методов их решения, и, во-вторых, не учитывается специфика решения таких задач методами параллельных вычислений на кластере. Точнее, матрицы систем линейных алгебраических уравнений, возникающие при применении численных методов, типа метода коллокации, имеют специальную блочно-теплице-ганкелевую структуру, а элементы матрицы формируются в результате счета интегралов, вычисление которых может быть осуществлено независимо и параллельно. Учет этих факторов делает возможным и актуальным применение методов параллельных вычислений для решения трехмерных векторных задач электродинамики на вычислительном кластере.
При решении обратных задач на сложной системе поверхностей и тел приходится решать (часто - плохообусловленные) комплексные системы линейных алгебраических уравнений порядка 100000 с заполненными (плотными) матрицами и выполнять количество операций порядка 10 в 13-15 степени. Единственную возможность для решения этих сложнейших задач с приемлемой на практике точностью открывает использование новейших математических методов решения векторных задач электродинамики и решение задачи на
Представим приближенное решение в виде линейной комбинации базисных

функций: фЛ1 = Уск'к. Подставив это представление в схему метода коллокации,

получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентовск:

X1ск (А Н )(*') = /(У), у = 1

Основная трудность применения метода коллокации в данной работе связана с тем, что в качестве пространства X рассматривается пространство Ь2, в котором значения функции в точке, вообще говоря, не определены. Таким образом, оператор проектирования Рт: X —»Xт определен не на всем пространстве X и, вообще говоря, не ограничен. Это приводит к тому, что нельзя применить стандартные утверждения о сходимости проекционных методов. Однако в нашем случае правая часть / является гладкой функцией и функция А(рт тоже будет определена в точках коллокации (что будет показано ниже). Поэтому дадим следующее [8]
Определение 3.1. Метод коллокации будем называть сходящимся для оператора А и/ е 1т А, если существует число т0 такое, что приближенные
уравнения (Aц>m)(xJ) = = имеют единственное решение (рт еХт для
всехт > т0, и если эти решения сходятся Фт—>Ф при т-> со к единственному решению (р уравнения А(р = /.
3.2 Метод коллокации для решения интегро-дифференциального уравнения на первом слое
Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы для метода коллокации для рассматриваемой задачи дифракции. Будем формулировать метод не для сингулярного интегрального уравнения, а для интегро-дифференциального уравнения. Этот подход снова оказывается эффективным в силу более удобного