Итерационный метод решения уравнения Гельмгольца в неограниченной области

• Автор: Воскобойникова, Ольга Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

Содержание.
Введение
Глава 1. Итерационный метод решения задачи в неограниченной области.
Описание метода
§1.1 Постановка задачи
§1.2 Искусственные граничные условия (ИГУ)
§ 1.3 Теорема об устойчивости ИГУ
§ 1.4 Метод решения задачи с ИГУ
Глава 2. Применение метода для решения двумерной цилиндрической задачи о рассеянии волны
§ 2.1 Рассеяние электромагнитной волны на проводящем объекте. Постановка задачи
§ 2.2 Численное решение задачи внутри ограниченной области
§ 2.3 Численное решение задачи вне ограниченной области
§ 2.4 Точность решения на модельном примере
Глава 3. Результаты расчетов двумерной цилиндрической задачи о рассеянии волны
§ 3.1 Рассеяние волны на объектах с заданной проводимостью
§3 .2 Зависимость скорости сходимости и точности метода от параметров

§3.3 Расчеты поля вокруг растущего проводящего объекта
Графики и таблицы
Список литературы

Введение.
Работа посвящена численному решению уравнения Гельмгольца в неограниченной области. Предлагается эффективный метод, разработанный специально для задачи дифракции электромагнитной волны на тонком объекте с конечной проводимостью. Специфика задачи состоит в том, что необходимо, с одной стороны, учитывать условия на бесконечности, а, с другой стороны, получить решение достаточно точно в небольшой ограниченной области в окрестности объекта. В связи с этим был разработан метод с условиями на искусственных границах, близких к проводящей области.
В предлагаемом методе используются две достаточно удаленные друг от друга границы вместо двух соседних слоев расчетной сетки, как в других методах с нелокальными искусственными граничными условиями. Условие склейки решений внешней и внутренней задач дает линейное уравнение для значений на границе, которое решается итерационно. Таким образом, задача с условиями на бесконечности сводится к серии задач с условиями Дирихле. Преимущество метода по сравнению с другими методами с нелокальными искусственными граничными условиями в том, что для решения задачи в ограниченной области могут быть использованы эффективные методы решения, разработанные для задач с условием Дирихле.
Алгоритм реализован для цилиндрически-симметричной задачи рассеяния электромагнитной волны на проводящем объекте. Оценка точности и скорости сходимости проводилась на примере тонких цилиндров, в частности, с отношением радиуса к длине 1:100 и длиной цилиндра больше длины волны. Искусственные границы — цилиндры с радиусом в несколько радиусов проводящего цилиндра (от 3 до 7 радиусов).
Важной частью работы является оценка метода решения задачи с ИГУ, включающая не только корректность ИГУ, но и эффективность решения пол-

ной задачи с этими ИГУ. Для предложенного численного алгоритма проведено исследование зависимости скорости сходимости и точности решения от параметров ИГУ(выбора искусственных границ, расстояния между ними, погрешности выполнения ИГУ).
Метод был применен для расчета деформации поля на каждом шаге по времени в самосогласованной электродинамической задаче о микроволновом стримерном разряде в газе высокого давления. Была использована модель, учитывающая по минимуму все необходимые факторы: гидродинамику газа, ионизацию, диффузию электронов и т.д. Расчет проводился расщеплением по физическим процессам. Деформация поля при заданном пространственном распределении проводимости вычислялась описанным итерационным методом. Подробно исследовано развитие газоразрядного процесса при прохождении электродинамического резонанса (равенство длины стримера половине длины волны излучения).
Актуальность работы определяется тем, что достаточно широкий круг прикладных исследований требует решения задач математической физики в неограниченных областях. Для их численного решения вводятся искусственные граничные условия. Они могут быть или локальные, но на «дальней» границе, или же существенно нелокальные. Локальные граничные условия являются легко реализуемыми, вычислительно дешевыми, но их некорректное использование, как правило, приводит к серьезным ошибкам в решении. Нелокальные граничные условия дают лучшую точность и могут быть поставлены на близкой границе, что позволяет решать задачу в небольшой расчетной области, но отличаются большей сложностью реализации и высокой вычислительной стоимостью. С точки зрения реальных расчетов нелокаль-ность искусственных граничных условий представляет серьезную вычислительную проблему. Поэтому хотя построение искусственных граничных условий хорошо изучено, разработка метода эффективного решения разност-

Из ограниченности в нуле получаем
Г^с^Д при Я < Я0,

из условий на бесконечности
п = С2 —+ П0, при И. > Я0.
Из непрерывности касательных компонент поля Ее и Нф получаем линейную систему для коэффициентов щ и сг.
Для базисного (цилиндрического) расчета было П0 1о(юг), здесь

возьмем По - — . В обоих случаях Ео(0,0) = (0;0;1). (Для удобства ум-
2 ш Я
ножение на коэффициент 3/2 произведем в самом конце вычислений.)
ВыПИШеМ Определитель ЛИНеЙНОЙ СИСтеМЫ уравнений ДЛЯ С] и С2 (для сокращения записи используем со = 1, Я вместо Яо):
рд (V-2ККс05(.КК)~5ш(кя)Уа-1 | Лед I я3 А я2 ) я
(КЯсоз(КЯ)- зт(КЯ) 2 8Ш(КЯ)УсЯ - 1 — —----------------- (-К.
I я3 я А я2 у К-
При <т-> оо сі -> 0 , а с2 остается конечной величиной, зависящей от Я0. „ ЯсоэЯ + 8ІпЯ(Я2-1)
с2 = 5 е
ІЯ + Я
Теперь учтем коэффициент 3/2 и получим желаемый результат:
Ег(0,Яо) = Ге~Ж°.
І-Лгі-Ио
Как видно из этой формулы, для малых Я0 с точностью до Я»2 получаем результат Ег(0,Яо)=3 как для проводящего шара в электростатическом поле (0;0;1). Расчеты показали, что при Яо=0.2 размеры областей для итераций 1x1 и 0.5x0.5 и сетка 100x100 дают хорошее приближение к решению уже на пер-